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Loi binomiale

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Découvrir la loi binomiale

X suit une loi binomiale B(n, p) si X compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Chapitre 2 — Probabilité d'obtenir k succès

P(X=k) = (k parmi n) × p^k × (1-p)^(n-k)

Chapitre 3 — Indicateurs de la loi binomiale

E(X)=np, V(X)=np(1-p), σ(X)=√(np(1-p))

Chapitre 4 — Utiliser la loi binomiale

Vérifier les conditions : épreuves identiques et indépendantes, deux issues, succès de probabilité p.

Teste-toi

1. Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?

AA. Une expérience aléatoire avec deux issues possibles (succès/échec)
BB. Une expérience avec plusieurs résultats
CC. Un calcul de probabilité continue
DD. Une loi normale
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Réponse : A — A. Une expérience aléatoire avec deux issues possibles (succès/échec)

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).

2. Si X suit une loi binomiale B(10, 0.3), quelle est la probabilité P(X=0) ?

AA. 0,7^10
BB. 0,3^10
CC. 0
DD. 1
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Réponse : A — A. 0,7^10

P(X=0) = (1-p)^n = 0,7^10 ≈ 0,028 car le coefficient binomial pour k=0 vaut 1 et p^0 = 1.

3. Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire suivant B(20, 0.4) ?

AA. 8
BB. 20
CC. 0,4
DD. 4,8
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Réponse : A — A. 8

E(X) = n × p = 20 × 0,4 = 8.

4. La variance d'une loi binomiale B(n, p) est :

AA. np(1-p)
BB. np
CC. p(1-p)
DD. n²p
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Réponse : A — A. np(1-p)

V(X) = np(1-p).

5. Dans un schéma de Bernoulli, les épreuves doivent être :

AA. Indépendantes et identiques
BB. Dépendantes
CC. Avec des probabilités différentes
DD. Sans remise
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Réponse : A — A. Indépendantes et identiques

Les répétitions doivent être indépendantes et la probabilité de succès p constante (épreuves identiques).

6. Pour n=15 et p=0,2, P(X=3) est environ :

AA. 0,250
BB. 0,648
CC. 0,132
DD. 0,061
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Réponse : A — A. 0,250

Calcul : (15 parmi 3) × 0,2³ × 0,8¹² = 455 × 0,008 × 0,0687 ≈ 0,250.

7. Si X ~ B(100, 0.01), l'écart-type est environ :

AA. 0,995
BB. 1
CC. 0,1
DD. 9,9
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Réponse : A — A. 0,995

σ = √(np(1-p)) = √(100 × 0,01 × 0,99) = √0,99 ≈ 0,995.

8. Parmi ces situations, laquelle peut être modélisée par une loi binomiale ?

AA. Lancer un dé 10 fois et compter le nombre de 6
BB. Mesurer la taille de 100 personnes
CC. Noter le temps d'attente à un arrêt de bus
DD. Tirer des cartes sans remise
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Réponse : A — A. Lancer un dé 10 fois et compter le nombre de 6

Lancer un dé : deux issues (6 ou non), lancers indépendants, probabilité constante 1/6. Les autres situations ne sont pas des répétitions d'épreuves de Bernoulli.

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