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Probabilités totales et théorème de Bayes

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — La formule des probabilités totales

P(A) = somme des probabilités des branches qui aboutissent à A.

Chapitre 2 — Calculer avec un arbre pondéré

P(T) = P(M∩T) + P(nonM∩T) = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492.

Chapitre 3 — Le théorème de Bayes

P(M|T) ≈ 0,40 : même avec un test positif, il n'y a que 40 % de chances d'être malade.

Chapitre 4 — Bien interpréter les résultats

Ne pas confondre P(A|B) et P(B|A) : le conditionnement n'est pas symétrique.

Teste-toi

1. Qu'est-ce qu'une partition de l'univers Ω ?

AA. Un ensemble d'événements tous identiques.
BB. Des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω.
CC. Un seul événement qui contient Ω.
DD. Des événements indépendants.
Voir la réponse

Réponse : B — B. Des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω.

Une partition est un ensemble d'événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers entier.

2. La formule des probabilités totales s'écrit :

AA. P(A) = ∑ P(A|B_i) P(B_i) si les B_i forment une partition.
BB. P(A) = ∑ P(A∩B_i) / P(B_i).
CC. P(A) = P(A|B) + P(B).
DD. P(A) = P(A∪B).
Voir la réponse

Réponse : A — A. P(A) = ∑ P(A|B_i) P(B_i) si les B_i forment une partition.

La formule des probabilités totales utilise la partition B_i pour décomposer P(A) en somme de probabilités conditionnelles pondérées.

3. Dans l'exemple du test, P(T|M)=0,99 signifie :

AA. Probabilité d'être malade si test positif.
BB. Probabilité d'avoir un test positif si on est malade.
CC. Probabilité d'être malade et positif.
DD. Probabilité d'être non malade et positif.
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Réponse : B — B. Probabilité d'avoir un test positif si on est malade.

P(T|M) est la probabilité conditionnelle d'avoir un test positif sachant que la personne est malade.

4. Le théorème de Bayes permet de calculer :

AA. P(A∩B) à partir de P(A) et P(B).
BB. P(B|A) à partir de P(A|B), P(B) et P(A).
CC. P(A∪B) à partir de P(A) et P(B).
DD. P(A) à partir de P(B).
Voir la réponse

Réponse : B — B. P(B|A) à partir de P(A|B), P(B) et P(A).

Bayes inverse le conditionnement : il donne P(B|A) en fonction de P(A|B), P(B) et P(A).

5. Si P(M)=0,02, P(T|M)=0,99, P(T|nonM)=0,03, alors P(T) vaut :

AA. 0,0198
BB. 0,0294
CC. 0,0492
DD. 0,402
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Réponse : C — C. 0,0492

P(T) = 0,02×0,99 + 0,98×0,03 = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492.

6. Avec ces données, P(M|T) vaut environ :

AA. 0,99
BB. 0,03
CC. 0,40
DD. 0,02
Voir la réponse

Réponse : C — C. 0,40

P(M|T) = P(M∩T)/P(T) = 0,0198/0,0492 ≈ 0,402.

7. Pourquoi P(M|T) est-elle beaucoup plus faible que P(T|M) ?

AA. Parce que le test est mauvais.
BB. Parce que la maladie est rare, donc beaucoup de positifs sont des faux positifs.
CC. Parce que P(T) est petit.
DD. Parce que les événements sont indépendants.
Voir la réponse

Réponse : B — B. Parce que la maladie est rare, donc beaucoup de positifs sont des faux positifs.

La prévalence faible de la maladie entraîne un grand nombre de faux positifs parmi les tests positifs, ce qui diminue la valeur prédictive positive.

8. Quelle condition est nécessaire pour appliquer la formule des probabilités totales à des événements B_i ?

AA. Les B_i doivent être indépendants.
BB. Les B_i doivent former une partition de Ω.
CC. Les B_i doivent avoir la même probabilité.
DD. Les B_i doivent être tous inclus dans A.
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Réponse : B — B. Les B_i doivent former une partition de Ω.

La formule des probabilités totales exige que les événements B_i forment une partition de l'univers.

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