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Probabilités totales et théorème de Bayes

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : La formule des probabilités totales

    P(A) = somme des probabilités des branches qui aboutissent à A.

  2. Chapitre 2 : Calculer avec un arbre pondéré

    P(T) = P(M∩T) + P(nonM∩T) = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492.

  3. Chapitre 3 : Le théorème de Bayes

    P(M|T) ≈ 0,40 : même avec un test positif, il n'y a que 40 % de chances d'être malade.

  4. Chapitre 4 : Bien interpréter les résultats

    Ne pas confondre P(A|B) et P(B|A) : le conditionnement n'est pas symétrique.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Qu'est-ce qu'une partition de l'univers Ω ?

    Voir la réponse

    Réponse : Des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω.

    Une partition est un ensemble d'événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers entier.

  2. 2.La formule des probabilités totales s'écrit :

    1. A.P(A) = ∑ P(A|B_i) P(B_i) si les B_i forment une partition.
    2. B.P(A) = ∑ P(A∩B_i) / P(B_i).
    3. C.P(A) = P(A|B) + P(B).
    4. D.P(A) = P(A∪B).
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    Réponse A : P(A) = ∑ P(A|B_i) P(B_i) si les B_i forment une partition.

    La formule des probabilités totales utilise la partition B_i pour décomposer P(A) en somme de probabilités conditionnelles pondérées.

  3. 3.Dans l'exemple du test, P(T|M)=0,99 signifie :

    1. A.Probabilité d'être malade si test positif.
    2. B.Probabilité d'être non malade et positif.
    3. C.Probabilité d'être malade et positif.
    4. D.Probabilité d'avoir un test positif si on est malade.
    Voir la réponse

    Réponse D : Probabilité d'avoir un test positif si on est malade.

    P(T|M) est la probabilité conditionnelle d'avoir un test positif sachant que la personne est malade.

  4. 4.Le théorème de Bayes permet de calculer :

    1. A.P(A∩B) à partir de P(A) et P(B).
    2. B.P(B|A) à partir de P(A|B), P(B) et P(A).
    3. C.P(A∪B) à partir de P(A) et P(B).
    4. D.P(A) à partir de P(B).
    Voir la réponse

    Réponse B : P(B|A) à partir de P(A|B), P(B) et P(A).

    Bayes inverse le conditionnement : il donne P(B|A) en fonction de P(A|B), P(B) et P(A).

  5. 5.Si P(M)=0,02, P(T|M)=0,99, P(T|nonM)=0,03, alors P(T) vaut :

    1. A.0,0492
    2. B.0,402
    3. C.0,0294
    4. D.0,0198
    Voir la réponse

    Réponse A : 0,0492

    P(T) = 0,02×0,99 + 0,98×0,03 = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492.

  6. 6.Avec ces données, P(M|T) vaut environ :

    1. A.0,99
    2. B.0,02
    3. C.0,03
    4. D.0,40
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    Réponse D : 0,40

    P(M|T) = P(M∩T)/P(T) = 0,0198/0,0492 ≈ 0,402.

  7. 7.Pourquoi P(M|T) est-elle beaucoup plus faible que P(T|M) ?

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    Réponse : Parce que la maladie est rare, donc beaucoup de positifs sont des faux positifs.

    La prévalence faible de la maladie entraîne un grand nombre de faux positifs parmi les tests positifs, ce qui diminue la valeur prédictive positive.

  8. 8.Quelle condition est nécessaire pour appliquer la formule des probabilités totales à des événements B_i ?

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    Réponse : Les B_i doivent former une partition de Ω.

    La formule des probabilités totales exige que les événements B_i forment une partition de l'univers.