Mathématiques · 2nde

Vecteurs et coordonnées

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est un déplacement : il ne dépend pas de son point de départ.

Chapitre 2 — Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement : Δx et Δy.

Chapitre 3 — Opérations sur les vecteurs

Additionner des vecteurs revient à additionner leurs coordonnées.

Chapitre 4 — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.

Teste-toi

1. Quelles sont les trois caractéristiques qui définissent un vecteur ?

AA. Une direction, un sens et une longueur
BB. Un point de départ, un point d'arrivée et une flèche
CC. Une abscisse, une ordonnée et une norme
DD. Une origine, une extrémité et une équation
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Réponse : A — A. Une direction, un sens et une longueur

Un vecteur est défini par sa direction (droite support), son sens (orientation de la flèche) et sa longueur (norme). Il n'est pas lié à un point de départ précis.

2. Soient A(1, 2) et B(4, 6). Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} ?

AA. (3, 4)
BB. (5, 8)
CC. (-3, -4)
DD. (4, 6)
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Réponse : A — A. (3, 4)

On calcule x_B - x_A = 4-1=3 et y_B - y_A = 6-2=4, donc \overrightarrow{AB}(3,4).

3. Si \vec{u}(2, -1) et \vec{v}(-3, 5), alors \vec{u} + \vec{v} a pour coordonnées :

AA. (-1, 4)
BB. (5, 4)
CC. (-1, -6)
DD. (1, 4)
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Réponse : A — A. (-1, 4)

Addition coordonnée par coordonnée : 2+(-3) = -1, -1+5 = 4, donc (-1,4).

4. Le vecteur -3\vec{u} avec \vec{u}(1, -2) est :

AA. (-3, 6)
BB. (3, -6)
CC. (-3, -6)
DD. (3, 6)
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Réponse : A — A. (-3, 6)

On multiplie chaque coordonnée par -3 : -3×1 = -3, -3×(-2)=6, donc (-3,6).

5. Quelle condition permet d'affirmer que \vec{u}(2,4) et \vec{v}(1,2) sont colinéaires ?

AA. 2×2 - 4×1 = 0
BB. 2×1 - 4×2 = 0
CC. 2+4 = 1+2
DD. 2/1 = 4/2
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Réponse : A — A. 2×2 - 4×1 = 0

Le déterminant xy' - x'y = 2×2 - 4×1 = 4-4=0, donc les vecteurs sont colinéaires. L'option D est vraie mais ne constitue pas la condition générale utilisée en cours (déterminant nul).

6. Les points A(1,2), B(3,5) et C(5,8) sont-ils alignés ?

AA. Oui, car \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires
BB. Non, car les coordonnées ne sont pas égales
CC. Oui, car les points ont des abscisses croissantes
DD. Non, car la distance AB n'est pas égale à BC
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Réponse : A — A. Oui, car \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires

\overrightarrow{AB}(2,3) et \overrightarrow{AC}(4,6). Déterminant : 2×6 - 3×4 = 12-12=0, donc colinéaires, donc A, B, C alignés.

7. Quelle est la norme du vecteur \vec{u}(3, 4) ?

AA. 5
BB. 7
CC. 12
DD. 25
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Réponse : A — A. 5

Norme = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.

8. Deux vecteurs sont égaux si :

AA. Ils ont même direction, même sens et même longueur
BB. Ils ont exactement les mêmes coordonnées
CC. Ils partent du même point
DD. A et B sont corrects
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Réponse : D — D. A et B sont corrects

Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur, ce qui se traduit par des coordonnées identiques. Ils n'ont pas besoin de partir du même point. Donc A et B sont deux formulations équivalentes de l'égalité vectorielle.

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