Dénombrement : permutations, combinaisons
Ce que tu dois retenir
Un arrangement est une liste ordonnée de k éléments distincts choisis parmi n.
Permutation : arrangement de n éléments parmi n, soit n! possibilités.
Combinaison : sous-ensemble de k éléments choisis parmi n, sans ordre.
La somme de tous les C_n^k pour k de 0 à n vaut 2^n.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les lettres A, B, C, D, E ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 60
C'est un arrangement de 3 parmi 5 : A_5^3 = 5×4×3 = 60.
2. De combien de façons peut-on classer 5 coureurs à l'arrivée d'une course sans ex-aequo ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 120
Permutation de 5 éléments : 5! = 120.
3. Dans une classe de 30 élèves, on élit un délégué et un suppléant. Combien de binômes ordonnés possibles ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 870
Ordre important : A_30^2 = 30×29 = 870.
4. On choisit 3 élèves parmi 10 pour former un groupe de travail. Combien de groupes possibles ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 120
Combinaison de 3 parmi 10 : C_10^3 = 120.
5. Combien de mains de 5 cartes peut-on tirer d'un jeu de 32 cartes ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 201 376
Combinaison de 5 parmi 32 : C_32^5 = 201 376.
6. Dans une urne de 8 boules numérotées, on tire successivement 3 boules sans remise. Combien de tirages possibles ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 336
Ordre important, sans remise : A_8^3 = 8×7×6 = 336.
7. Laquelle de ces égalités est vraie pour tout n et k ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — C_n^k = C_n^{n-k}
C'est la propriété de symétrie des coefficients binomiaux.
8. Combien de façons de choisir au moins 1 fruit parmi 5 fruits différents ?
Voir la réponseMasquer
Réponse : A — 31
Nombre de parties non vides d'un ensemble à 5 éléments : 2^5 - 1 = 31.