Mathématiques · term

Nombres complexes : formes et équations

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — La forme algébrique a+ib

i² = -1 et tout nombre complexe s'écrit a+ib avec a,b réels.

Chapitre 2 — Forme trigonométrique

z = r(cosθ + i sinθ) avec r = |z| et θ = arg(z) [2π].

Chapitre 3 — Formule d'Euler et notation exponentielle

z = r e^(iθ) avec r = |z| et θ = arg(z) [2π].

Chapitre 4 — Équations du second degré dans C

Si Δ<0, les solutions sont conjuguées : z = (-b ± i√|Δ|)/(2a).

Teste-toi

1. Quelle est la partie imaginaire du complexe z = 5 - 3i ?

AA. 5
BB. -3
CC. 3
DD. -5
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Réponse : B — B. -3

La forme algébrique est a+ib, donc Im(z) = b = -3.

2. Le conjugué de z = 2 + 7i est :

AA. 2 - 7i
BB. -2 + 7i
CC. -2 - 7i
DD. 7 + 2i
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Réponse : A — A. 2 - 7i

Le conjugué de a+ib est a-ib, donc 2-7i.

3. Si z = 1 + i, quel est son module |z| ?

AA. 1
BB. 2
CC. √2
DD. 0
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Réponse : C — C. √2

|z| = √(1²+1²) = √2.

4. Un argument de z = -2i est :

AA. π/2
BB. -π/2
CC. π
DD. 0
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Réponse : B — B. -π/2

z = -2i est sur l'axe imaginaire négatif, donc arg(z) = -π/2 (ou 3π/2).

5. La forme exponentielle de z = -1 est :

AA. e^(i0)
BB. e^(iπ)
CC. e^(iπ/2)
DD. e^(-iπ/2)
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Réponse : B — B. e^(iπ)

-1 = cosπ + i sinπ = e^(iπ).

6. Quel est le produit (1+i)(1-i) ?

AA. 0
BB. 2
CC. 2i
DD. -2
Voir la réponse

Réponse : B — B. 2

(1+i)(1-i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2.

7. L'équation z² + 1 = 0 admet pour solutions dans C :

AA. 1 et -1
BB. i et -i
CC. 1 et i
DD. aucune solution
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Réponse : B — B. i et -i

z² = -1 ⇔ z = i ou z = -i.

8. Si Δ < 0 pour az²+bz+c=0 (a,b,c réels), les solutions sont :

AA. réelles distinctes
BB. réelles confondues
CC. complexes non conjuguées
DD. complexes conjuguées
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Réponse : D — D. complexes conjuguées

Lorsque Δ<0, les solutions sont deux complexes conjugués : (-b ± i√|Δ|)/(2a).

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