Mathématiques · 1ere

Probabilités conditionnelles

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Introduction aux probabilités conditionnelles

Une probabilité conditionnelle réévalue la chance d'un événement à la lumière d'une information nouvelle.

Chapitre 2 — Calculer une probabilité conditionnelle

La formule P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) est le pilier du calcul conditionnel.

Chapitre 3 — Arbres pondérés et formule des probabilités totales

Un arbre pondéré transforme un problème complexe en une simple lecture de branches.

Chapitre 4 — Événements indépendants

L'indépendance signifie que l'information sur B ne change rien à la probabilité de A.

Teste-toi

1. Que représente P_B(A) ?

AA. La probabilité de A sachant B
BB. La probabilité de B sachant A
CC. La probabilité de A et B
DD. La probabilité de A ou B
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Réponse : A — A. La probabilité de A sachant B

P_B(A) se lit 'probabilité de A sachant B', c'est-à-dire la probabilité que A se réalise étant donné que B est réalisé.

2. Si P(A ∩ B) = 0,2 et P(B) = 0,5, alors P_B(A) vaut :

AA. 0,1
BB. 0,4
CC. 0,7
DD. 2,5
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Réponse : B — B. 0,4

P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,2 / 0,5 = 0,4.

3. Dans un arbre pondéré, que vaut la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud ?

AA. 0
BB. 0,5
CC. 1
DD. Cela dépend des événements
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Réponse : C — C. 1

Par construction, les branches représentent toutes les issues possibles à cette étape, donc la somme de leurs probabilités conditionnelles est toujours 1.

4. Deux événements A et B sont indépendants si :

AA. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
BB. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
CC. P(A ∩ B) = 0
DD. P(A) = P(B)
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Réponse : B — B. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

L'indépendance est définie par P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Cela signifie que la probabilité conjointe est le produit des probabilités individuelles.

5. On tire deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la deuxième soit un roi sachant que la première était un roi ?

AA. 4/32
BB. 3/31
CC. 4/31
DD. 3/32
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Réponse : B — B. 3/31

Après avoir tiré un roi, il reste 31 cartes dont 3 rois. La probabilité conditionnelle est donc 3/31.

6. Un test médical a une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 %. La maladie touche 1 % de la population. Quelle est la probabilité d'être malade si le test est positif ?

AA. Environ 95 %
BB. Environ 90 %
CC. Environ 8,8 %
DD. Environ 1 %
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Réponse : C — C. Environ 8,8 %

Avec le théorème de Bayes : P(Malade|Positif) = (0,95 × 0,01) / (0,95 × 0,01 + 0,10 × 0,99) ≈ 0,0876, soit environ 8,8 %. Un résultat contre-intuitif dû à la rareté de la maladie.

7. Si A et B sont indépendants et P(B) > 0, que vaut P_B(A) ?

AA. P(A)
BB. P(B)
CC. P(A) × P(B)
DD. 0
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Réponse : A — A. P(A)

Par définition de l'indépendance, P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) = (P(A) × P(B)) / P(B) = P(A).

8. Sur un arbre, on lit : branche 'B' : 0,3, puis branche 'A sachant B' : 0,6. Quelle est la probabilité de l'intersection A ∩ B ?

AA. 0,9
BB. 0,3
CC. 0,18
DD. 0,5
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Réponse : C — C. 0,18

On multiplie les probabilités le long du chemin : 0,3 × 0,6 = 0,18.

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