Mathématiques · term

Limites et continuité

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une limite ?

La limite d'une fonction en un point ne dépend pas de la valeur de la fonction en ce point, mais de son comportement à proximité.

Chapitre 2 — Limites infinies et asymptotes

Une asymptote est une droite que la courbe épouse à l'infini, sans jamais la toucher (ou en la touchant en un point isolé).

Chapitre 3 — Qu'est-ce qu'une fonction continue ?

La continuité assure que de petits changements de x entraînent de petits changements de f(x).

Chapitre 4 — TVI : existence de solutions

Le TVI garantit l'existence d'une solution, pas son unicité.

Teste-toi

1. Quelle est la limite de f(x) = (2x^2 - 3x + 1)/(x^2 + 2) quand x tend vers +∞ ?

AA. 2
BB. 0
CC. +∞
DD. 1
Voir la réponse

Réponse : A — A. 2

On factorise par le terme de plus haut degré : f(x) = (2 - 3/x + 1/x^2)/(1 + 2/x^2). Quand x→+∞, les termes en 1/x et 1/x^2 tendent vers 0, donc la limite est 2/1 = 2.

2. Soit f(x) = 1/(x-2). Quelle est l'asymptote verticale de la courbe représentative de f ?

AA. x=2
BB. y=0
CC. x=0
DD. y=2
Voir la réponse

Réponse : A — A. x=2

Le dénominateur s'annule en x=2, et la limite de f(x) quand x tend vers 2 est infinie (+∞ à droite, -∞ à gauche), donc la droite d'équation x=2 est une asymptote verticale.

3. Soit f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) pour x ≠ 2, et f(2) = 4. La fonction f est-elle continue en 2 ?

AA. Oui, car la limite en 2 vaut 4 et f(2)=4
BB. Non, car f n'est pas définie en 2
CC. Non, car la limite n'existe pas
DD. Oui, car f est une fonction rationnelle
Voir la réponse

Réponse : A — A. Oui, car la limite en 2 vaut 4 et f(2)=4

Pour x≠2, f(x) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2, donc lim_{x→2} f(x) = 4. Comme f(2)=4, la condition de continuité est vérifiée.

4. f est continue sur [0,3] avec f(0)= -2 et f(3)=5. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que :

AA. l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]0,3[
BB. f(x)=0 admet exactement une solution
CC. f est dérivable sur ]0,3[
DD. f(1)=0
Voir la réponse

Réponse : A — A. l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]0,3[

0 est compris entre -2 et 5, donc le TVI garantit l'existence d'au moins un c dans ]0,3[ tel que f(c)=0. L'unicité nécessite la monotonie.

5. Quelle est la limite de f(x) = (\sqrt{x^2+1} - x) quand x tend vers +∞ ?

AA. 0
BB. 1
CC. +∞
DD. 1/2
Voir la réponse

Réponse : A — A. 0

On multiplie par l'expression conjuguée : f(x) = 1/(\sqrt{x^2+1}+x) → 0.

6. Soit f(x) = (3x+1)/(x-2). Quelle est l'asymptote horizontale en +∞ ?

AA. y=3
BB. y=0
CC. x=2
DD. y=1
Voir la réponse

Réponse : A — A. y=3

lim_{x→+∞} f(x) = 3, donc asymptote horizontale y=3.

7. Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est pas continue sur ℝ ?

AA. f(x)=|x|
BB. f(x)=1/x
CC. f(x)=x^2
DD. f(x)=sin(x)
Voir la réponse

Réponse : B — B. f(x)=1/x

1/x n'est pas définie en 0, donc elle n'est pas continue sur ℝ (elle est continue sur ℝ*). Les autres sont continues partout.

8. Soit f continue sur [1,2] avec f(1)=3 et f(2)= -1. Peut-on affirmer que l'équation f(x)=2 admet une solution dans ]1,2[ ?

AA. Oui, car 2 est entre 3 et -1
BB. Non, car 2 n'est pas entre -1 et 3
CC. Oui, car f est continue
DD. Non, car f(1) > f(2)
Voir la réponse

Réponse : A — A. Oui, car 2 est entre 3 et -1

2 est bien compris entre -1 et 3 (car -1 < 2 < 3), donc d'après le TVI, il existe c dans ]1,2[ tel que f(c)=2.

Retour au cours ruedusavoir.com · Apprendre, c'est avancer.