Primitives et intégrales
Ce que tu dois retenir
Primitiver, c’est « inverser » la dérivation : trouver F telle que F’ = f.
La primitive de u'·u^n est u^{n+1}/(n+1) (n ≠ -1).
L'intégrale définie mesure l'aire sous la courbe.
L'intégrale de la vitesse donne la distance parcourue.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est la définition d'une primitive F d'une fonction f sur un intervalle I ?
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Réponse : A — A. F' = f
Par définition, F est une primitive de f si F est dérivable et F' = f.
2. Quelle est une primitive de f(x)=e^{2x} ?
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Réponse : C — C. (1/2)e^{2x}
La primitive de e^{kx} est (1/k)e^{kx} + C, donc (1/2)e^{2x}.
3. Si F est une primitive de f sur [a,b], que vaut ∫_a^b f(x)dx ?
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Réponse : B — B. F(b)-F(a)
D'après le théorème fondamental, l'intégrale de f entre a et b est F(b)-F(a).
4. Calculez ∫_0^1 3x^2 dx.
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Réponse : B — B. 1
Une primitive de 3x^2 est x^3. Donc ∫_0^1 3x^2 dx = [x^3]_0^1 = 1^3 - 0 = 1.
5. Quelle est la valeur de ∫_1^2 (2x+1) dx ?
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Réponse : C — C. 4
Primitive : x^2 + x. Alors [x^2+x]_1^2 = (4+2)-(1+1) = 6-2 = 4.
6. La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :
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Réponse : A — A. ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f
Relation de Chasles : ∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx pour tout c entre a et b.
7. Si f est continue et positive sur [a,b], l'intégrale ∫_a^b f(x)dx représente :
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Réponse : B — B. L'aire sous la courbe de f entre a et b
Pour une fonction positive, l'intégrale définie correspond à l'aire du domaine sous la courbe.
8. La primitive de 1/x sur ]0,+∞[ est :
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Réponse : A — A. ln(x)
La dérivée de ln(x) est 1/x, donc ln(x) est une primitive de 1/x sur ]0,+∞[.