Géométrie dans l'espace
Ce que tu dois retenir
Un point de l'espace est défini par trois coordonnées (x, y, z) dans un repère orthonormé.
u·v = xx' + yy' + zz' dans un repère orthonormé.
Un plan a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Distance d'un point à un plan : |axA+byA+czA+d| / √(a²+b²+c²).
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Dans un repère orthonormé, quelles sont les coordonnées du vecteur AB avec A(1,2,3) et B(4,6,8) ?
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Réponse : A — (3,4,5)
On soustrait les coordonnées : (4-1, 6-2, 8-3) = (3,4,5).
2. Le produit scalaire des vecteurs u(1,2,3) et v(4,-5,6) vaut :
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Réponse : A — 12
u·v = 1×4 + 2×(-5) + 3×6 = 4 - 10 + 18 = 12.
3. Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation cartésienne de plan ?
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Réponse : A — x + y + z = 1
Une équation cartésienne de plan est de la forme ax+by+cz+d=0. Les autres sont paramétriques ou une sphère.
4. Un plan a pour équation 2x - y + 3z + 6 = 0. Un vecteur normal à ce plan est :
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Réponse : A — (2, -1, 3)
Les coefficients de x, y, z donnent directement un vecteur normal : (2, -1, 3).
5. Soit la droite de représentation paramétrique : x=1+2t, y=t, z=2-t (t réel). Quel point n'appartient PAS à cette droite ?
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Réponse : D — (3,2,1)
Pour t=1, on obtient (3,1,1) ; t=2 donne (5,2,0) ; t=0 donne (1,0,2). (3,2,1) nécessiterait y=2 donc t=2, mais alors x=5 et z=0, donc impossible.
6. La distance du point P(1,2,3) au plan d'équation x + 2y + 2z - 3 = 0 est :
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Réponse : A — 8/3
|1+4+6-3| / √(1+4+4) = 8/3 ≈ 2,67.
7. Deux plans ont pour équations x+y+z=1 et 2x+2y+2z=3. Ils sont :
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Réponse : A — parallèles et distincts
Les vecteurs normaux (1,1,1) et (2,2,2) sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. En multipliant la 1ère par 2 on obtient 2x+2y+2z=2 ≠ 3, donc distincts.
8. L'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace peut être :
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Réponse : D — tout cela à la fois selon les cas
Si la droite perce le plan, intersection = un point. Si elle est incluse, intersection = la droite. Si elle est strictement parallèle, intersection = vide.