Dérivation
Ce que tu dois retenir
Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation quand l'intervalle devient infiniment petit.
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h)-f(a))/h, si cette limite existe.
La dérivée de x^n est n x^{n-1}.
f'(x) > 0 ⇔ f croissante, f'(x) < 0 ⇔ f décroissante.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Que représente le nombre dérivé f'(a) ?
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Réponse : A — A. La pente de la tangente à la courbe en a
f'(a) est la pente de la tangente, c'est-à-dire le taux de variation instantané en a.
2. En utilisant la définition, f'(3) pour f(x)=x² est :
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Réponse : A — A. 6
lim_{h→0} ((3+h)² - 9)/h = lim_{h→0} (6h + h²)/h = 6.
3. La dérivée de f(x)=5x⁴ - 3x² + 2x - 7 est :
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Réponse : A — A. 20x³ - 6x + 2
On dérive chaque terme : (5x⁴)'=20x³, (-3x²)'=-6x, (2x)'=2, (-7)'=0. Donc f'(x)=20x³-6x+2.
4. L'équation de la tangente à la courbe de f(x)=x² au point d'abscisse 1 est :
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Réponse : A — A. y = 2x - 1
f(1)=1, f'(x)=2x donc f'(1)=2. Tangente : y = 2(x-1)+1 = 2x-1.
5. Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est :
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Réponse : A — A. croissante
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : positive => croissante.
6. La dérivée de f(x)=1/x est :
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Réponse : A — A. -1/x²
On utilise la formule (1/x)' = -1/x².
7. Soit f(x)=√x. f'(4) vaut :
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Réponse : A — A. 1/4
f'(x)=1/(2√x), donc f'(4)=1/(2×2)=1/4.
8. Une fonction f admet un maximum local en a si :
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Réponse : A — A. f'(a)=0 et f' passe de + à -
Un maximum local correspond à un changement de signe de la dérivée de positif à négatif, avec f'(a)=0.