Mathématiques · 1ere

Géométrie repérée : équations de cercles et de paraboles

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Équation d'un cercle

Un cercle de centre (a;b) et de rayon R a pour équation (x-a)²+(y-b)²=R².

Chapitre 2 — Retrouver centre et rayon

Toujours compléter les carrés pour passer de la forme développée à la forme (x-a)²+(y-b)²=R².

Chapitre 3 — La parabole

Le sommet d'une parabole y=ax²+bx+c a pour abscisse -b/(2a).

Chapitre 4 — Sommet et équation

La forme canonique y=a(x-α)²+β donne immédiatement le sommet S(α;β).

Teste-toi

1. Quelle est l'équation du cercle de centre A(3;-2) et de rayon 4 ?

A(x-3)²+(y+2)²=16
B(x+3)²+(y-2)²=16
C(x-3)²+(y-2)²=4
D(x+3)²+(y+2)²=4
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Réponse : A — (x-3)²+(y+2)²=16

Le centre (3;-2) donne (x-3) et (y+2), et le rayon 4 donne R²=16.

2. Le cercle d'équation (x+1)²+(y-4)²=9 a pour centre et rayon :

A(-1;4) et 3
B(1;-4) et 3
C(-1;4) et 9
D(1;-4) et 9
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Réponse : A — (-1;4) et 3

On lit centre (-1;4) car x+1 = x-(-1), et R²=9 donc R=3.

3. L'équation x²+y²-6x+2y-15=0 est celle d'un cercle de centre :

A(3;-1)
B(-3;1)
C(3;1)
D(-3;-1)
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Réponse : A — (3;-1)

En complétant les carrés : (x-3)²-9+(y+1)²-1-15=0, soit (x-3)²+(y+1)²=25. Le centre est (3;-1).

4. La parabole d'équation y=2x²-4x+1 a pour sommet :

A(1;-1)
B(-1;7)
C(1;1)
D(0;1)
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Réponse : A — (1;-1)

x_S = -(-4)/(2×2) = 1 et y_S = 2×1²-4×1+1 = -1.

5. La forme canonique de y=x²-6x+10 est :

A(x-3)²+1
B(x+3)²+1
C(x-3)²-1
D(x+3)²-1
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Réponse : A — (x-3)²+1

x²-6x = (x-3)²-9, donc y = (x-3)²-9+10 = (x-3)²+1.

6. Une parabole a pour sommet S(2;5) et passe par l'origine O(0;0). Son coefficient a vaut :

A-5/4
B5/4
C-4/5
D4/5
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Réponse : A — -5/4

y=a(x-2)²+5. Avec O(0;0) : 0=a×4+5, donc a=-5/4.

7. La trajectoire d'un ballon de basket est modélisée par y=-0,2x²+1,2x+2. Quelle est la hauteur maximale atteinte ?

A3,8 m
B3 m
C2 m
D4,2 m
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Réponse : A — 3,8 m

Le sommet a pour abscisse x=-1,2/(2×(-0,2))=3 et pour ordonnée y=-0,2×9+1,2×3+2=3,8.

8. L'ensemble des points M(x;y) vérifiant x²+y²=25 est :

AUn cercle de centre O(0;0) et de rayon 5
BUne parabole de sommet O
CUne droite passant par O
DUn cercle de centre (5;5)
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Réponse : A — Un cercle de centre O(0;0) et de rayon 5

C'est l'équation d'un cercle centré à l'origine avec R²=25, donc R=5.

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