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Convexité et points d'inflexion

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Convexité : une histoire de courbure

Convexe = courbe en creux (∪), concave = courbe en bosse (∩).

Chapitre 2 — Dérivée seconde et convexité

Le signe de f'' donne la convexité : f'' ≥ 0 ⇒ convexe, f'' ≤ 0 ⇒ concave.

Chapitre 3 — Point d'inflexion : le virage de la courbe

Un point d'inflexion = f'' s'annule ET change de signe.

Chapitre 4 — Applications et méthode d'étude

Méthode : f'' → signe de f'' → convexité et points d'inflexion.

Teste-toi

1. Une fonction f est convexe sur un intervalle I si...

AA. f' est croissante sur I
BB. f' est décroissante sur I
CC. f'' est négative sur I
DD. f est constante sur I
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Réponse : A — A. f' est croissante sur I

La convexité équivaut à la croissance de la dérivée f', donc f'' est positive ou nulle.

2. La fonction f(x)=x² est...

AA. concave sur ℝ
BB. convexe sur ℝ
CC. ni convexe ni concave
DD. convexe seulement sur ℝ+*
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Réponse : B — B. convexe sur ℝ

f''(x)=2 > 0 pour tout réel x, donc f est convexe sur ℝ.

3. La dérivée seconde f'' mesure...

AA. la pente de la tangente à f
BB. la vitesse de variation de f'
CC. la valeur de f en un point
DD. la position du point d'inflexion
Voir la réponse

Réponse : B — B. la vitesse de variation de f'

f'' est la dérivée de f', elle indique comment la pente des tangentes évolue.

4. Pour f(x)=x³, f''(x)=6x. Le point d'inflexion de la courbe est...

AA. (1;1)
BB. (0;0)
CC. (-1;-1)
DD. il n'y en a pas
Voir la réponse

Réponse : B — B. (0;0)

f'' s'annule en 0 et change de signe : négative avant 0, positive après 0, donc (0;0) est un point d'inflexion.

5. Si f''(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est...

AA. convexe sur I
BB. concave sur I
CC. croissante sur I
DD. décroissante sur I
Voir la réponse

Réponse : B — B. concave sur I

Un signe négatif de f'' indique que f' décroît, donc f est concave.

6. La condition f''(a)=0 suffit-elle pour affirmer que la courbe admet un point d'inflexion en a ?

AA. Oui, toujours
BB. Non, il faut aussi un changement de signe de f''
CC. Oui, si f'(a)=0
DD. Non, il faut f(a)=0
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Réponse : B — B. Non, il faut aussi un changement de signe de f''

Il faut que f'' s'annule en changeant de signe. Par exemple f(x)=x⁴ a f''(0)=0 mais pas de point d'inflexion.

7. Quelle fonction admet un point d'inflexion en 0 ?

AA. f(x)=x²
BB. f(x)=x⁴
CC. f(x)=x³
DD. f(x)=|x|
Voir la réponse

Réponse : C — C. f(x)=x³

Pour f(x)=x³, f''(x)=6x change de signe en 0, donc point d'inflexion. Les autres n'ont pas ce changement.

8. Pour f(x)=x³-3x, f''(x)=6x. Sur l'intervalle ]-∞;0[, f est...

AA. convexe
BB. concave
CC. croissante
DD. décroissante
Voir la réponse

Réponse : B — B. concave

Sur ]-∞;0[, f''(x)=6x < 0, donc f est concave sur cet intervalle.

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