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Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'un graphe probabiliste ?

Chaque sommet = un état, chaque arête = une probabilité de transition.

Chapitre 2 — La matrice de transition

Les lignes décrivent l'état de départ, les colonnes l'état d'arrivée.

Chapitre 3 — Chaîne de Markov et état probabiliste

Tout le passé est résumé dans l'état présent : c'est la propriété de Markov.

Chapitre 4 — Distribution invariante et état stable

La distribution invariante donne la répartition vers laquelle le système converge.

Teste-toi

1. Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités des arêtes sortantes d'un sommet vaut :

AA. 0
BB. 1
CC. le nombre de sommets
DD. cela dépend du graphe
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Réponse : B — B. 1

Depuis un état, on passe obligatoirement à un état du système, donc la somme des probabilités de toutes les transitions possibles vaut 1.

2. Le coefficient m_{ij} d'une matrice de transition correspond à :

AA. la probabilité de passer de l'état i à l'état j
BB. la probabilité de passer de l'état j à l'état i
CC. le nombre d'arêtes entre i et j
DD. la probabilité de rester dans l'état i
Voir la réponse

Réponse : A — A. la probabilité de passer de l'état i à l'état j

Par convention, m_{ij} désigne la probabilité de transition de l'état i vers l'état j.

3. Si P_n = (0,5 ; 0,5) et M = [[0,8,0,2],[0,4,0,6]], alors P_{n+1} vaut :

AA. (0,6 ; 0,4)
BB. (0,5 ; 0,5)
CC. (0,64 ; 0,36)
DD. (0,56 ; 0,44)
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Réponse : A — A. (0,6 ; 0,4)

On calcule P_{n+1} = P_n M : 0,5×0,8+0,5×0,4 = 0,6 et 0,5×0,2+0,5×0,6 = 0,4.

4. La propriété de Markov signifie que :

AA. l'état futur dépend de tous les états passés
BB. l'état futur dépend seulement de l'état présent
CC. les états sont indépendants
DD. les probabilités sont constantes
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Réponse : B — B. l'état futur dépend seulement de l'état présent

Une chaîne de Markov est sans mémoire : la transition vers l'état suivant ne dépend que de l'état actuel.

5. Une distribution invariante π vérifie :

AA. π M = π
BB. M π = π
CC. π + M = π
DD. π M = 0
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Réponse : A — A. π M = π

La distribution invariante reste inchangée après multiplication par la matrice de transition : π M = π.

6. Si la matrice de transition est M = [[1,0],[0,1]], alors :

AA. les états ne changent jamais
BB. on alterne toujours entre les états
CC. la distribution est nulle
DD. M n'est pas une matrice de transition
Voir la réponse

Réponse : A — A. les états ne changent jamais

Chaque état a une probabilité 1 de rester dans le même état : le système est figé.

7. Pour une matrice de transition 2×2, la somme des coefficients de la première ligne est :

AA. égale à la somme de la deuxième colonne
BB. égale à 1
CC. égale à 2
DD. impossible à savoir
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Réponse : B — B. égale à 1

Chaque ligne d'une matrice de transition représente toutes les transitions possibles depuis un état, leur somme vaut donc 1.

8. Dans l'exemple M = [[0,8,0,2],[0,3,0,7]], la distribution invariante est :

AA. (0,5 ; 0,5)
BB. (0,7 ; 0,3)
CC. (0,6 ; 0,4)
DD. (0,4 ; 0,6)
Voir la réponse

Réponse : C — C. (0,6 ; 0,4)

En résolvant π M = π avec π_1 + π_2 = 1, on trouve π_1 = 0,6 et π_2 = 0,4.

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