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Lois de probabilité continues : uniforme et exponentielle

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une loi à densité ?

La probabilité est une aire sous la courbe de densité.

Chapitre 2 — La loi uniforme continue

Tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité.

Chapitre 3 — La loi exponentielle de paramètre λ

La loi exponentielle est sans mémoire : le futur ne dépend pas du passé.

Chapitre 4 — Uniforme ou exponentielle ?

Uniforme : intervalle borné, exponentielle : durée sans mémoire.

Teste-toi

1. Parmi les fonctions suivantes, laquelle peut être une densité de probabilité sur l'intervalle donné ?

AA. f(x)=2x sur [0;1]
BB. f(x)=x sur [0;2]
CC. f(x)=-x+1 sur [0;1]
DD. f(x)=e^x sur [0;1]
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Réponse : A — A. f(x)=2x sur [0;1]

f(x)=2x sur [0;1] est positive et son intégrale vaut 1. Les autres ont une intégrale différente de 1 (B:2, C:0.5, D:e-1).

2. X suit une loi uniforme sur [2;8]. Calculez P(3 ≤ X ≤ 5).

AA. 1/3
BB. 1/2
CC. 1/4
DD. 2/3
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Réponse : A — A. 1/3

P = (5-3)/(8-2) = 2/6 = 1/3.

3. Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a;b] ?

AA. (a+b)/2
BB. (b-a)/2
CC. a+b
DD. (b-a)/12
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Réponse : A — A. (a+b)/2

Pour une loi uniforme continue, E(X) = (a+b)/2, le milieu de l'intervalle.

4. X suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,2. Calculez P(X > 5).

AA. e^{-1} (≈0,368)
BB. 1 - e^{-1} (≈0,632)
CC. 0,2
DD. 0,8
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Réponse : A — A. e^{-1} (≈0,368)

P(X > 5) = e^{-0,2×5} = e^{-1} ≈ 0,368.

5. Quelle propriété caractérise la loi exponentielle ?

AA. Absence de mémoire (durée de vie sans vieillissement)
BB. Densité constante sur un intervalle
CC. Espérance nulle
DD. Support borné
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Réponse : A — A. Absence de mémoire (durée de vie sans vieillissement)

La loi exponentielle est la seule loi continue sans mémoire : P_{X>t}(X>t+h) = P(X>h).

6. X suit une loi uniforme sur [0;10]. Que vaut P(X = 5) ?

AA. 0
BB. 0,1
CC. 0,5
DD. 1
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Réponse : A — A. 0

Pour une loi continue, la probabilité d'une valeur isolée est toujours nulle.

7. La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,01. Quelle est sa durée de vie moyenne ?

AA. 100
BB. 0,01
CC. 10
DD. 1
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Réponse : A — A. 100

E(X) = 1/λ = 1/0,01 = 100.

8. X suit une loi uniforme sur [0;1]. Sa densité f(x) vaut :

AA. 1 pour x∈[0;1]
BB. x pour x∈[0;1]
CC. 0,5 pour x∈[0;1]
DD. 2x pour x∈[0;1]
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Réponse : A — A. 1 pour x∈[0;1]

Sur [0;1], f(x)=1/(1-0)=1, constante.

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