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Introduction aux statistiques bayésiennes

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Pourquoi renverser les probabilités ?

On passe de P(observation | hypothèse) à P(hypothèse | observation).

Chapitre 2 — La formule qui actualise les croyances

Posterior ∝ Vraisemblance × Prior

Chapitre 3 — Un test positif est-il si fiable ?

Avec une maladie rare, même un bon test produit beaucoup de faux positifs.

Chapitre 4 — Au-delà du calcul : une méthode de pensée

La probabilité a posteriori devient le nouveau point de départ.

Teste-toi

1. Que représente P(H|E) dans la formule de Bayes ?

AA. La probabilité a priori de H
BB. La probabilité de E sachant H
CC. La probabilité a posteriori de H sachant E
DD. La probabilité de E
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Réponse : C — C. La probabilité a posteriori de H sachant E

P(H|E) est la probabilité de l'hypothèse H après avoir observé l'événement E, appelée probabilité a posteriori.

2. Si P(A)=0,3, P(B|A)=0,8 et P(B|¬A)=0,2, alors P(B) vaut :

AA. 0,24
BB. 0,38
CC. 0,30
DD. 0,56
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Réponse : B — B. 0,38

P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|¬A)×P(¬A) = 0,8×0,3 + 0,2×0,7 = 0,24 + 0,14 = 0,38.

3. Un test a une prévalence de 5%, une sensibilité de 90% et un taux de faux positifs de 10%. La probabilité d'être malade si le test est positif est environ :

AA. 90 %
BB. 10 %
CC. 32 %
DD. 50 %
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Réponse : C — C. 32 %

P(E) = 0,05×0,9 + 0,95×0,1 = 0,045 + 0,095 = 0,14. Donc P(H|E) = 0,045 / 0,14 ≈ 0,32 soit 32 %.

4. Le théorème de Bayes est une conséquence directe de :

AA. la loi uniforme
BB. la définition de la probabilité conditionnelle
CC. la loi binomiale
DD. le théorème central limite
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Réponse : B — B. la définition de la probabilité conditionnelle

La formule de Bayes découle de P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A), donc de la définition de la probabilité conditionnelle.

5. Pourquoi un test médical très sensible peut donner beaucoup de faux positifs ?

AA. Car la sensibilité est faible
BB. Car la maladie est rare donc la plupart des positifs viennent des non-malades
CC. Car le test est mauvais
DD. Car la spécificité n'existe pas
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Réponse : B — B. Car la maladie est rare donc la plupart des positifs viennent des non-malades

Si la maladie est rare, le grand nombre de non-malades produit de nombreux faux positifs même avec un faible taux de faux positifs.

6. Dans la formule de Bayes, la vraisemblance correspond à :

AA. P(H)
BB. P(E)
CC. P(E|H)
DD. P(H|E)
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Réponse : C — C. P(E|H)

La vraisemblance est la probabilité d'observer les données E sachant que l'hypothèse H est vraie, notée P(E|H).

7. Après observation d'une information E, la probabilité a posteriori P(H|E) peut être utilisée comme :

AA. nouvelle probabilité a priori pour une information future
BB. vraisemblance
CC. évidence totale
DD. aucune de ces réponses
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Réponse : A — A. nouvelle probabilité a priori pour une information future

Le bayésianisme est itératif : le posterior d'une étape devient le prior de l'étape suivante.

8. Si P(H|E)=0,2, alors P(¬H|E) vaut :

AA. 0,2
BB. 0,8
CC. 1,0
DD. impossible à calculer
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Réponse : B — B. 0,8

Pour un événement E fixé, les probabilités conditionnelles de H et ¬H sachant E somment à 1 : P(¬H|E) = 1 - P(H|E) = 0,8.

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