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Équations différentielles du second ordre

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Qu'est-ce qu'une équation différentielle du second ordre ?

    Une équation différentielle du second ordre relie y, y' et y'' ; sa solution générale contient deux constantes.

  2. Chapitre 2 : L'équation caractéristique

    Chercher des solutions exponentielles ramène l'équation différentielle à une équation du second degré.

  3. Chapitre 3 : Solutions selon le signe de Δ

    Le signe de Δ impose la forme de la solution : exponentielles réelles, exponentielle-polynôme ou oscillations amorties.

  4. Chapitre 4 : Déterminer les constantes

    Les conditions initiales y(0) et y'(0) permettent de fixer les deux constantes de la solution générale.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Quelle est l'équation caractéristique de y'' - 5y' + 6y = 0 ?

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    Réponse : r² - 5r + 6 = 0

    On remplace y'' par r², y' par r et y par 1, en conservant les coefficients -5 et 6.

  2. 2.Si Δ < 0 pour l'équation caractéristique, la solution générale de y'' + ay' + by = 0 est :

    1. A.C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t)
    2. B.(C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}
    3. C.C₁ e^{r₁ t} + C₂ e^{r₂ t}
    4. D.e^{α t}(C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t))
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    Réponse D : e^{α t}(C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t))

    Les racines complexes α ± iβ donnent une exponentielle e^{α t} multipliée par une combinaison de cos et sin.

  3. 3.Pour y'' + 2y' + y = 0, le discriminant vaut :

    1. A.0
    2. B.-4
    3. C.1
    4. D.4
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    Réponse A : 0

    a=2, b=1 donc Δ = 2² - 4×1 = 0.

  4. 4.La solution générale de y'' - 4y = 0 est :

    1. A.C₁ e^{2t} + C₂ e^{-2t}
    2. B.C₁ e^{4t} + C₂
    3. C.C₁ cos(2t) + C₂ sin(2t)
    4. D.(C₁ + C₂ t)e^{2t}
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    Réponse A : C₁ e^{2t} + C₂ e^{-2t}

    Équation caractéristique r² - 4 = 0, racines ±2, donc deux exponentielles.

  5. 5.Quelle condition initiale est nécessaire en plus de y(0) pour déterminer complètement la solution d'une équation du second ordre ?

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    Réponse : y'(0)

    Il faut deux conditions, généralement la valeur de la fonction et celle de sa dérivée première en un point.

  6. 6.Si l'équation caractéristique a une racine double r₀ = -3, la solution générale est :

    1. A.C₁ e^{-3t}
    2. B.e^{-3t}(C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t))
    3. C.(C₁ + C₂ t) e^{-3t}
    4. D.C₁ e^{-3t} + C₂ e^{3t}
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    Réponse C : (C₁ + C₂ t) e^{-3t}

    Racine double r₀ donne (C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}.

  7. 7.L'équation y'' + 9y = 0 admet pour solution générale :

    1. A.C₁ cos(9t) + C₂ sin(9t)
    2. B.C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t)
    3. C.C₁ e^{3t} + C₂ e^{-3t}
    4. D.(C₁ + C₂ t)e^{3t}
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    Réponse B : C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t)

    r² + 9 = 0 donne r = ±3i, donc α=0, β=3, d'où cos(3t) et sin(3t).

  8. 8.Pour y'' + 4y' + 4y = 0, la solution vérifiant y(0)=1 et y'(0)=0 est :

    1. A.e^{-2t}
    2. B.cos(2t)
    3. C.(1+2t)e^{-2t}
    4. D.e^{2t}
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    Réponse C : (1+2t)e^{-2t}

    Racine double -2, solution (C₁+C₂ t)e^{-2t} ; y(0)=C₁=1, y'(0)=C₂-2C₁=0 donc C₂=2.