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Équations différentielles du second ordre

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une équation différentielle du second ordre ?

Une équation différentielle du second ordre relie y, y' et y'' ; sa solution générale contient deux constantes.

Chapitre 2 — L'équation caractéristique

Chercher des solutions exponentielles ramène l'équation différentielle à une équation du second degré.

Chapitre 3 — Solutions selon le signe de Δ

Le signe de Δ impose la forme de la solution : exponentielles réelles, exponentielle-polynôme ou oscillations amorties.

Chapitre 4 — Déterminer les constantes

Les conditions initiales y(0) et y'(0) permettent de fixer les deux constantes de la solution générale.

Teste-toi

1. Quelle est l'équation caractéristique de y'' - 5y' + 6y = 0 ?

Ar² - 5r + 6 = 0
Br² + 5r + 6 = 0
Cr² - 5r - 6 = 0
Dr² + 5r - 6 = 0
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Réponse : A — r² - 5r + 6 = 0

On remplace y'' par r², y' par r et y par 1, en conservant les coefficients -5 et 6.

2. Si Δ < 0 pour l'équation caractéristique, la solution générale de y'' + ay' + by = 0 est :

AC₁ e^{r₁ t} + C₂ e^{r₂ t}
B(C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}
Ce^{α t}(C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t))
DC₁ cos(β t) + C₂ sin(β t)
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Réponse : C — e^{α t}(C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t))

Les racines complexes α ± iβ donnent une exponentielle e^{α t} multipliée par une combinaison de cos et sin.

3. Pour y'' + 2y' + y = 0, le discriminant vaut :

A0
B4
C-4
D1
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Réponse : A — 0

a=2, b=1 donc Δ = 2² - 4×1 = 0.

4. La solution générale de y'' - 4y = 0 est :

AC₁ e^{2t} + C₂ e^{-2t}
BC₁ cos(2t) + C₂ sin(2t)
C(C₁ + C₂ t)e^{2t}
DC₁ e^{4t} + C₂
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Réponse : A — C₁ e^{2t} + C₂ e^{-2t}

Équation caractéristique r² - 4 = 0, racines ±2, donc deux exponentielles.

5. Quelle condition initiale est nécessaire en plus de y(0) pour déterminer complètement la solution d'une équation du second ordre ?

Ay''(0)
By'(0)
Cy(1)
DAucune
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Réponse : B — y'(0)

Il faut deux conditions, généralement la valeur de la fonction et celle de sa dérivée première en un point.

6. Si l'équation caractéristique a une racine double r₀ = -3, la solution générale est :

AC₁ e^{-3t} + C₂ e^{3t}
B(C₁ + C₂ t) e^{-3t}
Ce^{-3t}(C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t))
DC₁ e^{-3t}
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Réponse : B — (C₁ + C₂ t) e^{-3t}

Racine double r₀ donne (C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}.

7. L'équation y'' + 9y = 0 admet pour solution générale :

AC₁ e^{3t} + C₂ e^{-3t}
BC₁ cos(3t) + C₂ sin(3t)
C(C₁ + C₂ t)e^{3t}
DC₁ cos(9t) + C₂ sin(9t)
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Réponse : B — C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t)

r² + 9 = 0 donne r = ±3i, donc α=0, β=3, d'où cos(3t) et sin(3t).

8. Pour y'' + 4y' + 4y = 0, la solution vérifiant y(0)=1 et y'(0)=0 est :

Ae^{-2t}
B(1+2t)e^{-2t}
Ccos(2t)
De^{2t}
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Réponse : B — (1+2t)e^{-2t}

Racine double -2, solution (C₁+C₂ t)e^{-2t} ; y(0)=C₁=1, y'(0)=C₂-2C₁=0 donc C₂=2.

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