Pourquoi une nouvelle équation ?

En mécanique classique, l'état d'une particule est défini par sa position et sa vitesse à chaque instant, ce qui permet de tracer une trajectoire. Or, à l'échelle atomique, des expériences de diffraction et d'interférences montrent que les électrons se comportent aussi comme des ondes : c'est la dualité onde-particule. La longueur d'onde associée à une particule de quantité de mouvement p est donnée par la relation de de Broglie. Pour décrire ces objets, on introduit une fonction d'onde Ψ(x,t) qui remplace la trajectoire. Cette fonction contient toute l'information sur l'état quantique du système.

📢 Rappel

Une onde classique est caractérisée par une amplitude et une phase ; une particule classique par sa position et sa vitesse.

📖 Définition

Dualité onde-particule : un objet quantique peut manifester des aspects ondulatoires ou corpusculaires selon l'expérience.

⭐ À retenir

La mécanique quantique remplace la notion de trajectoire par celle de probabilité de présence.

💡 À retenir : Tout objet quantique est décrit par une fonction d'onde, pas par une trajectoire.

📊

Interprétation probabiliste de Born

La fonction d'onde et la probabilité de présence

La fonction d'onde Ψ(x,t) est une amplitude de probabilité, généralement complexe, et n'est pas directement mesurable. Max Born propose en 1926 que le carré de son module, |Ψ(x,t)|², représente la densité de probabilité de trouver la particule à la position x à l'instant t. Pour un petit intervalle dx, la probabilité est donc |Ψ(x,t)|² dx. La somme des probabilités sur tout l'espace doit valoir 1, ce qui impose une condition de normalisation de la fonction d'onde. Cette interprétation probabiliste marque une rupture profonde avec le déterminisme classique.

📖 Définition

Densité de probabilité : probabilité par unité de longueur (en 1D) de trouver la particule.

🔍 Exemple

Pour un électron dans un atome, |Ψ|² donne la forme des orbitales atomiques.

⭐ À retenir

La fonction d'onde doit être normalisée : la probabilité totale de présence vaut 1.

💡 À retenir : |Ψ(x,t)|² est une densité de probabilité de présence.

🧮

Équation fondamentale de la mécanique quantique

L'équation de Schrödinger stationnaire

En 1926, Erwin Schrödinger propose une équation qui gouverne l'évolution de la fonction d'onde. Pour un état d'énergie E bien définie dans un potentiel V(x), la forme stationnaire s'écrit comme une équation aux valeurs propres. Le premier terme du membre de gauche représente l'énergie cinétique, via la dérivée seconde de Ψ, et le second terme l'énergie potentielle. La résolution de cette équation donne les fonctions d'onde Ψ_n et les énergies E_n accessibles au système. Elle joue un rôle analogue à la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.

📖 Définition

Constante de Planck réduite : ħ = h/(2π).

🔍 Exemple

Pour un électron libre (V=0), les solutions sont des ondes planes de la forme e^{ikx}.

⭐ À retenir

Cette équation aux valeurs propres ne possède de solutions acceptables que pour certaines énergies E.

💡 À retenir : L'équation de Schrödinger relie l'énergie totale E à la fonction d'onde Ψ.

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Puits de potentiel infini

Quantification de l'énergie dans une boîte

Le modèle le plus simple est une particule confinée dans un puits de potentiel infini de largeur L : elle ne peut pas sortir de l'intervalle [0, L]. Les conditions aux limites imposent que la fonction d'onde s'annule en x=0 et x=L, comme une corde vibrante fixée à ses extrémités. Les solutions sont des ondes stationnaires sinusoïdales caractérisées par un entier n. Chaque entier n correspond à une énergie E_n proportionnelle à n², d'où une quantification des niveaux d'énergie. Ce modèle explique qualitativement la discrétisation des niveaux dans les atomes et les puits quantiques.

⭐ À retenir

L'énergie est quantifiée car seules certaines ondes stationnaires sont compatibles avec les conditions aux limites.

🔍 Exemple

Ce modèle simple explique la quantification des niveaux d'énergie dans les puits quantiques des semi-conducteurs.

💡 À retenir : L'énergie d'une particule confinée ne peut prendre que des valeurs discrètes E_n.

Fiche de révision Exercices

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