De l'intégrale classique à l'intégrale généralisée

En terminale, on sait calculer \(\int_a^b f(t)\,dt\) pour une fonction continue sur un segment \([a,b]\). Lorsque l'intervalle d'intégration est non borné, par exemple \([a,+\infty[\), on étend la notion d'intégrale par un passage à la limite. On appelle intégrale généralisée de \(f\) sur \([a,+\infty[\) la limite, si elle existe, de \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Cette limite est notée \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\). Si la limite est un nombre réel fini, l'intégrale est dite convergente ; sinon, elle est divergente.

📢 Rappel

Toute fonction continue sur un segment \([a,b]\) admet une intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) finie.

📖 Définition

\(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x\to+\infty} \int_a^x f(t)\,dt\) si cette limite existe.

⭐ À retenir

On ne peut pas « calculer à l'infini » directement : on intègre jusqu'à \(x\), puis on fait tendre \(x\) vers \(+\infty\).

💡 À retenir : Une intégrale généralisée est d'abord une limite d'intégrales sur des intervalles bornés.

Complète la phrase

Pour \(f(t)=\frac{1}{t^2}\) sur \([1,+\infty[\), on a \(F(x)=\int_1^x \frac{1}{t^2}dt = 1 - \frac{1}{x}\). Alors \(\lim_{x\to+\infty} F(x) = \). L'intégrale généralisée \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt\) est donc (convergente/divergente).

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Convergence et divergence

Exemples de référence : les intégrales de Riemann

Pour déterminer si une intégrale généralisée converge, on examine la limite de l'intégrale partielle. L'exemple fondamental est \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt\), avec \(\alpha>0\). On montre qu'elle converge si et seulement si \(\alpha>1\). Par exemple, \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt = 1\), tandis que \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t}dt = +\infty\) diverge. Ce résultat sert de référence pour comparer d'autres fonctions. Retenir ce critère permet de conclure rapidement dans de nombreux exercices.

🔍 Exemple

\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt = \lim_{x\to+\infty}(1-\frac{1}{x})=1\) : convergence.

🔍 Exemple

\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t}dt = \lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty\) : divergence.

⭐ À retenir

Le cas \(\alpha=1\) est divergent ; il faut \(\alpha\) strictement supérieur à 1.

💡 À retenir : Les intégrales de Riemann \(\int_1^{+\infty} 1/t^\alpha\) convergent uniquement pour \(\alpha>1\).

⚖️

Comparer sans calculer

Critères de convergence par comparaison

Il n'est pas toujours possible de calculer explicitement une intégrale généralisée. On utilise alors des critères de comparaison pour des fonctions positives. Si \(0 \le f(t) \le g(t)\) sur \([a,+\infty[\) et que \(\int_a^{+\infty} g(t)\,dt\) converge, alors \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt\) converge aussi. De même, si \(f\) et \(g\) sont positives et équivalentes au voisinage de \(+\infty\), alors leurs intégrales généralisées ont la même nature. Ces outils ramènent l'étude à des fonctions simples comme \(1/t^\alpha\) ou \(e^{-t}\).

📢 Rappel

Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes en \(+\infty\) si \(f(t)/g(t) \to 1\).

⭐ À retenir

Comparaison : \(0\le f\le g\) et \(\int g\) converge \(\Rightarrow \int f\) converge.

🔍 Exemple

Comme \(0\le \frac{1}{t^2+1}\le \frac{1}{t^2}\) et \(\int_1^{+\infty} 1/t^2\) converge, l'intégrale de \(1/(t^2+1)\) converge.

💡 À retenir : Pour des fonctions positives, être plus petite qu'une fonction intégrable suffit à garantir la convergence.

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Applications concrètes

Des intégrales généralisées dans la vie réelle

Les intégrales généralisées modélisent des phénomènes sur une durée infinie ou un espace non borné. En probabilités, la densité exponentielle \(f(t)=e^{-t}\) sur \([0,+\infty[\) vérifie \(\int_0^{+\infty} e^{-t}dt = 1\), ce qui garantit que la probabilité totale vaut 1. En physique, l'énergie dissipée par un circuit RC sur un temps infini se calcule par une intégrale généralisée. En économie, la valeur actualisée d'un revenu perpétuel est une intégrale de la forme \(\int_0^{+\infty} R e^{-rt}dt\). Comprendre la convergence permet de savoir si ces quantités sont finies.

🔍 Exemple

Pour la loi exponentielle de paramètre 1, \(\int_0^{+\infty} e^{-t}dt = \lim_{x\to+\infty}(1-e^{-x})=1\).

⭐ À retenir

En probabilité continue sur \([0,+\infty[\), la convergence de l'intégrale de la densité est indispensable.

💡 À retenir : Une intégrale généralisée convergente correspond à une grandeur totale finie malgré un horizon infini.

Fiche de révision Exercices

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