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Intégrales généralisées et convergence

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — De l'intégrale classique à l'intégrale généralisée

Une intégrale généralisée est d'abord une limite d'intégrales sur des intervalles bornés.

Chapitre 2 — Exemples de référence : les intégrales de Riemann

Les intégrales de Riemann \(\int_1^{+\infty} 1/t^\alpha\) convergent uniquement pour \(\alpha>1\).

Chapitre 3 — Critères de convergence par comparaison

Pour des fonctions positives, être plus petite qu'une fonction intégrable suffit à garantir la convergence.

Chapitre 4 — Des intégrales généralisées dans la vie réelle

Une intégrale généralisée convergente correspond à une grandeur totale finie malgré un horizon infini.

Teste-toi

1. Que signifie que \(\int_a^{+\infty} f(t)dt\) converge ?

AA. La limite \(\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)dt\) est finie.
BB. \(f\) est bornée sur \([a,+\infty[\).
CC. La primitive existe.
DD. L'intervalle est fini.
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Réponse : A — A. La limite \(\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)dt\) est finie.

La convergence d'une intégrale généralisée se définit par l'existence d'une limite finie de l'intégrale partielle quand la borne supérieure tend vers l'infini.

2. \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^3}dt\) vaut :

AA. 1/2
BB. 1
CC. +∞
DD. 2
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Réponse : A — A. 1/2

Une primitive de \(t^{-3}\) est \(-\frac{1}{2}t^{-2}\). De 1 à x on obtient \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}\), qui tend vers 1/2.

3. L'intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}}dt\) est :

AA. convergente vers 2
BB. divergente
CC. convergente vers 1
DD. convergente vers 0
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Réponse : B — B. divergente

Ici \(\alpha = 1/2 < 1\), donc d'après le critère de Riemann, l'intégrale diverge vers +∞.

4. Pour \(\alpha>0\), \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt\) converge si :

AA. \(\alpha \ge 1\)
BB. \(\alpha < 1\)
CC. \(\alpha > 1\)
DD. \(\alpha = 1\)
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Réponse : C — C. \(\alpha > 1\)

Le critère de Riemann indique que l'exposant doit être strictement supérieur à 1 pour que l'intégrale généralisée converge.

5. Si \(0\le f(t)\le g(t)\) et \(\int_a^{+\infty} g(t)dt\) converge, alors :

AA. \(\int f\) diverge
BB. \(\int f\) converge
CC. \(\int f\) est nulle
DD. on ne peut rien dire
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Réponse : B — B. \(\int f\) converge

C'est le principe de comparaison : une fonction positive plus petite qu'une fonction intégrable a aussi une intégrale convergente.

6. L'intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-t}dt\) vaut :

AA. 0
BB. +∞
CC. 1
DD. e
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Réponse : C — C. 1

Une primitive de \(e^{-t}\) est \(-e^{-t}\). De 0 à x on obtient \(1 - e^{-x}\), qui tend vers 1.

7. Quelle fonction a une intégrale généralisée convergente sur \([1,+\infty[\) ?

AA. \(1/t\)
BB. \(1/\sqrt{t}\)
CC. \(1/t^2\)
DD. \(t\)
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Réponse : C — C. \(1/t^2\)

Seule \(1/t^2\) correspond à un exposant \(\alpha=2>1\) dans le critère de Riemann, donc son intégrale converge.

8. Pour étudier \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}dt\), on peut utiliser :

AA. le théorème des valeurs intermédiaires
BB. une majoration par \(1/t^2\)
CC. une équivalence avec \(\cos t\)
DD. aucun critère
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Réponse : B — B. une majoration par \(1/t^2\)

Comme \(|\cos t|\le 1\), on a \(|\cos t|/t^2 \le 1/t^2\). Or \(1/t^2\) est intégrable sur \([1,+\infty[\), donc l'intégrale converge absolument.

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