Découvrir les systèmes d'équations

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un ensemble de deux équations qui doivent être vraies en même temps. Par exemple, si tu achètes 2 croissants et 1 pain au chocolat pour 4 €, puis 1 croissant et 2 pains au chocolat pour 4,50 €, tu obtiens deux équations reliant le prix d'un croissant x et d'un pain y. Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations simultanément. On note un système avec une accolade.

📢 Rappel

Une équation linéaire à deux inconnues est de la forme ax + by = c avec a, b, c des nombres connus.

📖 Définition

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s'écrit : { ax + by = c ; dx + ey = f } où x et y sont les inconnues.

💡 À retenir : Un système, c'est deux équations partageant les mêmes inconnues.

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Isoler puis remplacer

Méthode par substitution

La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans l'une des équations, puis à remplacer cette expression dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue, facile à résoudre. Ensuite, on remonte pour trouver la seconde inconnue. Cette méthode est pratique quand une équation se réécrit simplement, par exemple x = ... ou y = ...

🔍 Exemple

Dans { x + y = 10 ; x - y = 2 }, on isole x = 10 - y, puis on substitue : (10 - y) - y = 2, donc 10 - 2y = 2, soit y = 4.

💡 À retenir : On isole une inconnue, puis on la remplace dans l'autre équation.

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Additionner ou soustraire

Méthode par combinaison

La combinaison consiste à additionner ou soustraire les deux équations membre à membre pour éliminer une inconnue. On choisit des coefficients pour que les termes en x ou en y s'annulent. Par exemple, si on a { 2x + y = 7 ; x - y = 2 }, en additionnant les deux équations, les y disparaissent et on obtient 3x = 9, donc x = 3. Puis on remplace x dans une équation pour trouver y.

⭐ À retenir

La combinaison est efficace quand les coefficients d'une inconnue sont opposés ou égaux.

💡 À retenir : On additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue.

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Vérifier et interpréter

Solutions et vérification

Une fois un couple (x ; y) trouvé, il faut toujours vérifier qu'il satisfait bien les deux équations du système. On remplace x et y par leurs valeurs dans chaque équation : les égalités doivent être vraies. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul. Graphiquement, la solution correspond au point d'intersection des deux droites représentant les équations. Un système peut avoir une solution unique, aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).

🔍 Exemple

Pour le système { 2x + y = 7 ; x - y = 2 }, la solution (3 ; 1) vérifie : 2×3 + 1 = 7 et 3 - 1 = 2.

💡 À retenir : Toujours vérifier la solution dans les deux équations.

Fiche de révision Exercices

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