Théorème de l'angle inscrit et polygones réguliers

Imagine une roue de vélo ou une horloge : le cercle est partout. Sur un cercle, on choisit trois points A, B et C. L’angle ACB a son sommet C sur le cercle : c’est un angle inscrit. L’angle AOB a son sommet O, centre du cercle, et intercepte le même arc AB. Le théorème dit que l’angle au centre vaut toujours le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Prends un cercle et trace un diamètre [AB]. Place un point C n’importe où sur le cercle, distinct de A et B. Alors le triangle ABC est inscrit dans le cercle et l’angle ACB est un angle inscrit. Comme le diamètre forme un angle au centre plat de 180°, l’angle inscrit vaut la moitié, soit 90°. On obtient un triangle rectangle en C.

Un polygone régulier a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure. Il peut être inscrit dans un cercle : son centre est le centre du cercle et ses sommets sont régulièrement espacés. Par exemple, l’hexagone d’une alvéole, le panneau STOP octogonal ou la rosace pentagonale. Pour un polygone à n côtés, l’angle au centre entre deux sommets voisins est 360°/n. L’angle intérieur du polygone vaut alors 180° - 360°/n.

Dans un exercice, commence par repérer le centre du cercle, les sommets sur le cercle et l’arc intercepté. Si tu connais l’angle au centre, divise par 2 pour l’angle inscrit ; si tu connais l’angle inscrit, multiplie par 2. Pour un polygone régulier, compte le nombre de côtés n, puis calcule l’angle au centre et l’angle intérieur. Pour construire, trace un cercle, reporte l’angle au centre avec un rapporteur, puis relie les sommets. Vérifie toujours que la somme des angles au centre fait bien 360°.