Mathématiques · 3e

Les systèmes d'équations linéaires

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Découvrir les systèmes d'équations

Un système, c'est deux équations partageant les mêmes inconnues.

Chapitre 2 — Méthode par substitution

On isole une inconnue, puis on la remplace dans l'autre équation.

Chapitre 3 — Méthode par combinaison

On additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue.

Chapitre 4 — Solutions et vérification

Toujours vérifier la solution dans les deux équations.

Teste-toi

1. Qu'est-ce qu'un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?

AA. Deux équations avec une seule inconnue chacune.
BB. Deux équations avec deux inconnues qui doivent être vraies en même temps.
CC. Une équation avec deux inconnues.
DD. Deux inconnues sans équation.
Voir la réponse

Réponse : B — B. Deux équations avec deux inconnues qui doivent être vraies en même temps.

Un système impose que les deux équations soient vérifiées simultanément par le même couple (x ; y).

2. Quelle est la solution du système { x + y = 5 ; x - y = 1 } ?

AA. (3 ; 2)
BB. (2 ; 3)
CC. (4 ; 1)
DD. (1 ; 4)
Voir la réponse

Réponse : A — A. (3 ; 2)

En additionnant les deux équations, on obtient 2x = 6 donc x = 3, puis y = 2.

3. La méthode de substitution consiste à :

AA. Additionner les deux équations.
BB. Isoler une inconnue puis la remplacer dans l'autre équation.
CC. Tracer les droites.
DD. Multiplier les deux équations.
Voir la réponse

Réponse : B — B. Isoler une inconnue puis la remplacer dans l'autre équation.

On exprime une inconnue en fonction de l'autre, puis on substitue cette expression.

4. Dans le système { 2x + 3y = 8 ; 4x + 6y = 16 }, les deux équations sont :

AA. Contradictoires, aucune solution.
BB. Équivalentes, infinité de solutions.
CC. Indépendantes, une solution unique.
DD. Impossible à résoudre.
Voir la réponse

Réponse : B — B. Équivalentes, infinité de solutions.

La deuxième équation est le double de la première, donc les deux droites sont confondues : une infinité de solutions.

5. En additionnant membre à membre les équations { x + y = 6 ; x - y = 2 }, on obtient :

AA. 2x = 8
BB. 2y = 4
CC. x = 4
DD. y = 2
Voir la réponse

Réponse : A — A. 2x = 8

Les termes en y s'annulent : (x + y) + (x - y) = 6 + 2 → 2x = 8.

6. Quelle valeur de x vérifie le système { y = 2x ; x + y = 9 } ?

AA. x = 3
BB. x = 4
CC. x = 2
DD. x = 5
Voir la réponse

Réponse : A — A. x = 3

En substituant y = 2x dans x + y = 9, on obtient 3x = 9 donc x = 3.

7. Si après résolution on obtient une égalité fausse comme 0 = 5, cela signifie :

AA. Le système a une infinité de solutions.
BB. Le système a une solution unique.
CC. Le système n'a aucune solution.
DD. Il faut recommencer les calculs car c'est impossible.
Voir la réponse

Réponse : C — C. Le système n'a aucune solution.

Une contradiction indique que les deux équations ne peuvent pas être vraies en même temps : aucune solution.

8. Pour vérifier que (2 ; 3) est solution du système { x + y = 5 ; 2x - y = 1 }, on remplace x et y. La deuxième équation devient :

AA. 2×2 - 3 = 1
BB. 2×3 - 2 = 4
CC. 2×2 + 3 = 7
DD. 2×3 + 2 = 8
Voir la réponse

Réponse : A — A. 2×2 - 3 = 1

En remplaçant x par 2 et y par 3 dans 2x - y, on obtient 4 - 3 = 1, ce qui est bien l'égalité de droite.

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