Qu'est-ce qu'une série numérique ?

Une série numérique est la somme infinie des termes d'une suite (u_n). Pour lui donner un sens, on introduit les sommes partielles S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n. La série ∑u_n converge si la suite (S_n) admet une limite finie lorsque n tend vers +∞. Par exemple, la somme 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... s'approche de 1 en ajoutant des moitiés restantes. Cette notion prolonge celle de limite de suite vue en classe de Terminale.

📢 Rappel

Une suite (S_n) converge si elle admet une limite finie quand n tend vers +∞.

📖 Définition

Série numérique : somme infinie formelle ∑u_n, étudiée via ses sommes partielles S_n.

💡 À retenir : Une série converge si ses sommes partielles tendent vers un nombre fini.

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Condition nécessaire

Convergence et divergence

Si la série ∑u_n converge, alors son terme général u_n tend nécessairement vers 0. En effet, si les sommes partielles s'accumulent vers une limite L, l'ajout d'un terme supplémentaire devient négligeable. Mais attention, la réciproque est fausse : la série harmonique ∑1/n a un terme général qui tend vers 0, pourtant elle diverge. Ses sommes partielles croissent comme ln(n) et dépassent toute valeur fixée. Il faut donc des outils plus fins que la simple limite du terme général.

⭐ À retenir

La convergence de ∑u_n implique u_n → 0, mais la réciproque est fausse (série harmonique).

🔍 Exemple

La série harmonique ∑1/n diverge : ses sommes partielles dépassent tout seuil, même si 1/n tend vers 0.

💡 À retenir : u_n → 0 est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

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Un cas fondamental

Séries géométriques

Une série géométrique est de la forme ∑q^n, où q est un nombre réel appelé raison. Si |q| < 1, la série converge et sa somme vaut 1/(1−q). Si |q| ≥ 1, le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge. Ce type de série modélise des situations concrètes : un capital placé à intérêts composés, la distance parcourue par une balle qui rebondit, ou la décroissance radioactive. Par exemple, 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... vaut 3/2.

🔍 Exemple

Un capital placé à intérêts composés ou une balle rebondissant avec coefficient q illustre la série géométrique.

⭐ À retenir

Pour |q| < 1, ∑q^n converge vers 1/(1−q) ; pour |q| ≥ 1, elle diverge.

💡 À retenir : Pour |q| < 1, la somme infinie des q^n vaut 1/(1−q).

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Comparer pour conclure

Critères de convergence

Pour étudier une série à termes positifs, on compare souvent son terme général à une série de référence. Les séries de Riemann ∑1/n^α convergent si α > 1 et divergent si α ≤ 1. Par exemple, ∑1/n^2 converge, tandis que ∑1/√n diverge car α = 1/2 ≤ 1. On peut aussi utiliser le critère de d'Alembert ou des équivalents, mais l'idée reste la même : ramener l'inconnu à du connu. Ces outils permettent de traiter des problèmes issus de la physique ou de l'économie.

📖 Définition

Série de Riemann : ∑1/n^α converge si α > 1, diverge si α ≤ 1.

⭐ À retenir

Pour une série à termes positifs, si u_n ≤ v_n et ∑v_n converge, alors ∑u_n converge.

💡 À retenir : Comparer à une série de Riemann permet souvent de conclure sur la convergence.

Fiche de révision Exercices

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