Séries numériques et convergence
Ce que tu dois retenir
Une série converge si ses sommes partielles tendent vers un nombre fini.
u_n → 0 est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.
Pour |q| < 1, la somme infinie des q^n vaut 1/(1−q).
Comparer à une série de Riemann permet souvent de conclure sur la convergence.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Que signifie qu'une série numérique ∑u_n converge ?
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Réponse : B — B. Les sommes partielles S_n tendent vers une limite finie
La convergence d'une série est définie par la convergence de la suite de ses sommes partielles.
2. Quelle est la somme de la série géométrique ∑_{n=0}^{∞} (1/2)^n ?
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Réponse : B — B. 2
Ici q = 1/2, |q| < 1, donc la somme vaut 1/(1−1/2) = 2.
3. La série harmonique ∑_{n=1}^{∞} 1/n est :
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Réponse : C — C. Divergente
Bien que 1/n tende vers 0, les sommes partielles croissent comme ln(n) et divergent.
4. Quelle condition est nécessaire pour que ∑u_n converge ?
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Réponse : A — A. u_n tend vers 0
Si une série converge, son terme général doit tendre vers 0, mais cette condition n'est pas suffisante.
5. Pour quelles valeurs de α la série de Riemann ∑1/n^α converge-t-elle ?
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Réponse : A — A. α > 1
Les séries de Riemann convergent si α > 1 et divergent si α ≤ 1.
6. La série ∑_{n=0}^{∞} 2^n est :
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Réponse : C — C. Divergente car q = 2 > 1
Pour une série géométrique, il faut |q| < 1. Ici q = 2, donc le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge.
7. La somme 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... vaut :
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Réponse : B — B. 3/2
C'est une série géométrique de raison 1/3, donc somme = 1/(1−1/3) = 3/2.
8. Si u_n = 1/n^2, que peut-on dire de ∑u_n ?
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Réponse : A — A. Elle converge car α = 2 > 1
C'est une série de Riemann avec α = 2 > 1, donc elle converge.