Produit vectoriel dans l'espace et applications géométriques
Ce que tu dois retenir
Le produit vectoriel transforme deux vecteurs en un vecteur perpendiculaire.
La formule coordonnée par coordonnée évite les constructions géométriques.
Aire = norme de u∧v ; un vecteur normal = direction de u∧v.
Toujours vérifier que le vecteur obtenu est orthogonal aux deux vecteurs de départ.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Le produit vectoriel u∧v est :
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Réponse : B — B. orthogonal à u et à v
Par définition, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur orthogonal à chacun d'eux.
2. Si u(1;0;0) et v(0;1;0), alors u∧v vaut :
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Réponse : A — A. (0;0;1)
Les vecteurs de base e1 et e2 donnent e3 dans un repère orthonormé direct.
3. La norme de u∧v est égale à :
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Réponse : C — C. ||u|| ||v|| |sin θ|
La norme du produit vectoriel est le produit des normes par la valeur absolue du sinus de l'angle.
4. Le produit vectoriel est :
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Réponse : B — B. antisymétrique
On a u∧v = − v∧u : changer l'ordre inverse le sens du vecteur.
5. L'aire du triangle construit sur u et v est :
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Réponse : B — B. 1/2 ||u∧v||
L'aire du parallélogramme est ||u∧v||, donc celle du triangle est la moitié.
6. Pour u(1;2;3) et v(4;5;6), le produit vectoriel u∧v a pour coordonnées :
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Réponse : A — A. (-3;6;-3)
En appliquant la formule : (2×6−3×5 ; 3×4−1×6 ; 1×5−2×4) = (-3;6;-3).
7. Un vecteur normal au plan passant par A, B et C peut être obtenu par :
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Réponse : C — C. AB∧AC
Le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan donne un vecteur orthogonal au plan.
8. Le produit mixte (u∧v)·w correspond :
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Réponse : B — B. au volume d'un parallélotope
Le produit mixte mesure le volume signé du parallélotope construit sur u, v et w.