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Estimation ponctuelle et intervalles de confiance

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Pourquoi estimer ?

Un estimateur est une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon pour approcher un paramètre inconnu de la population.

Chapitre 2 — Estimation ponctuelle

Un bon estimateur est sans biais (E(estimateur) = paramètre) et convergent (sa variance diminue quand n augmente).

Chapitre 3 — Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne est : x̄ ± 1,96 × (σ/√n).

Chapitre 4 — Interprétation correcte

On ne parle pas de probabilité pour un intervalle calculé, mais de confiance dans la méthode.

Teste-toi

1. Qu'est-ce qu'un estimateur en statistique ?

AA. Une valeur fixe de la population
BB. Une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon
CC. La taille de l'échantillon
DD. Le paramètre exact de la population
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Réponse : B — B. Une variable aléatoire calculée à partir de l'échantillon

Un estimateur est une statistique (variable aléatoire) utilisée pour estimer un paramètre inconnu de la population.

2. Quelle est la valeur z pour un intervalle de confiance à 95 % ?

AA. 1,64
BB. 1,96
CC. 2,58
DD. 2,00
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Réponse : B — B. 1,96

Pour un niveau de confiance de 95 %, la valeur critique z est 1,96 (issue de la loi normale centrée réduite).

3. Si on augmente la taille de l'échantillon, que devient la marge d'erreur d'un intervalle de confiance pour une moyenne ?

AA. Elle augmente
BB. Elle diminue
CC. Elle reste constante
DD. Elle devient nulle
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Réponse : B — B. Elle diminue

La marge d'erreur est proportionnelle à 1/√n. Quand n augmente, la marge d'erreur diminue, donc l'intervalle est plus précis.

4. Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne est [4,2 ; 5,8]. Quelle est l'interprétation correcte ?

AA. Il y a 95 % de chances que la vraie moyenne soit dans [4,2 ; 5,8].
BB. La vraie moyenne est dans [4,2 ; 5,8] avec une probabilité de 0,95.
CC. Si on répétait l'échantillonnage, 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne.
DD. 95 % des individus de l'échantillon ont une valeur entre 4,2 et 5,8.
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Réponse : C — C. Si on répétait l'échantillonnage, 95 % des intervalles contiendraient la vraie moyenne.

L'interprétation fréquentiste correcte porte sur la méthode : 95 % des intervalles construits de cette façon captureront le paramètre.

5. On mesure la taille de 64 étudiants : moyenne = 170 cm, écart-type connu σ = 8 cm. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % pour la taille moyenne de la population ?

AA. [168,04 ; 171,96]
BB. [169,02 ; 170,98]
CC. [166,08 ; 173,92]
DD. [168,00 ; 172,00]
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Réponse : A — A. [168,04 ; 171,96]

IC = 170 ± 1,96 × (8/√64) = 170 ± 1,96 × 1 = [168,04 ; 171,96].

6. Quel est l'effet d'augmenter le niveau de confiance de 95 % à 99 % sur l'intervalle ?

AA. L'intervalle devient plus étroit
BB. L'intervalle devient plus large
CC. L'intervalle ne change pas
DD. La marge d'erreur diminue
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Réponse : B — B. L'intervalle devient plus large

Un niveau de confiance plus élevé nécessite une valeur z plus grande (2,58 au lieu de 1,96), donc l'intervalle s'élargit.

7. Dans une étude, la proportion d'étudiants fumeurs dans un échantillon de 200 est de 0,30. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % pour la proportion dans la population ? (utiliser la formule approchée p ± 1,96 × √(p(1-p)/n) )

AA. [0,24 ; 0,36]
BB. [0,26 ; 0,34]
CC. [0,22 ; 0,38]
DD. [0,28 ; 0,32]
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Réponse : A — A. [0,24 ; 0,36]

√(0,3×0,7/200) = √(0,21/200) = √0,00105 ≈ 0,0324. Marge = 1,96 × 0,0324 ≈ 0,0635. IC = [0,3 - 0,0635 ; 0,3 + 0,0635] = [0,2365 ; 0,3635] arrondi à [0,24 ; 0,36].

8. Quelle condition est nécessaire pour utiliser l'intervalle de confiance basé sur la loi normale pour une moyenne ?

AA. L'échantillon doit être de taille inférieure à 30
BB. La variable doit suivre une loi de Poisson
CC. L'échantillon doit être grand (n ≥ 30) ou la variable normale
DD. L'écart-type de la population doit être inconnu
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Réponse : C — C. L'échantillon doit être grand (n ≥ 30) ou la variable normale

Le théorème central limite permet d'utiliser la loi normale si n ≥ 30, même si la variable n'est pas normale. Si n < 30, la normalité de la variable est requise.

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