Triangles : construction et propriétés

Un triangle est une figure plane fermée à trois côtés, trois sommets et trois angles. On le nomme souvent par ses sommets, par exemple ABC. Le côté opposé au sommet A est [BC] ; il ne faut pas confondre un côté et un angle. Selon ses côtés, un triangle peut être équilatéral, isocèle ou scalène. On étudie aussi le triangle rectangle, qui possède un angle droit.

Pour qu'un triangle existe, ses côtés doivent respecter l'inégalité triangulaire. La longueur de chaque côté doit être strictement inférieure à la somme des deux autres. Par exemple, 3 cm, 4 cm et 5 cm conviennent car 3+4>5, 3+5>4 et 4+5>3. En revanche, 2 cm, 3 cm et 7 cm ne conviennent pas car 2+3<7. Cette vérification évite de tracer deux arcs de cercle qui ne se croisent pas.

La somme des mesures des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°. Si deux angles mesurent 50° et 60°, le troisième mesure 180-50-60=70°. Cette propriété permet de vérifier un tracé ou de retrouver un angle manquant. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure donc 60°. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois longueurs, on commence par tracer un côté à la règle. On utilise ensuite le compas pour reporter les deux autres longueurs depuis les extrémités de ce côté. Le point d'intersection des deux arcs donne le troisième sommet. Il ne reste plus qu'à tracer les deux côtés manquants à la règle. On vérifie toujours d'abord l'inégalité triangulaire pour savoir si la construction est possible.