Problèmes d’analyse et de suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres u_0, u_1, u_2, etc., indexés par un entier n. On modélise une grandeur qui évolue par paliers : solde d’épargne, nombre d’abonnés, population. Le terme u_n représente la valeur au rang n, et u_{n+1} décrit la valeur suivante. Une relation de récurrence permet de calculer de proche en proche, tandis qu’une formule explicite calcule directement un terme.

Une suite arithmétique augmente ou diminue toujours du même nombre r : u_{n+1}=u_n+r. Son terme général est u_n=u_0+n r, donc les points sont alignés. Exemple : un forfait à 12 € puis +2 € chaque mois. Pour calculer un terme, on part de u_0 et on ajoute r n fois. La somme de termes consécutifs vaut nombre de termes × (premier + dernier)/2.

Une suite géométrique multiplie chaque terme par le même coefficient q : u_{n+1}=q u_n. Son terme général est u_n=u_0 q^n ; q>1 traduit une hausse et 0<q<1 une baisse. Une augmentation de 5 % correspond à q=1,05, une baisse de 10 % à q=0,90. La somme des n+1 premiers termes, pour q≠1, vaut u_0(1-q^{n+1})/(1-q).

Pour résoudre un problème concret, on identifie d’abord ce qui se répète : addition constante ou multiplication constante. On écrit ensuite le modèle, puis on calcule les termes utiles ou on utilise une formule. Pour un seuil, on peut calculer de proche en proche, utiliser un tableur ou un algorithme. Enfin, on interprète le résultat dans le contexte et on vérifie qu’il est cohérent.