Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même. Par exemple, 7 est premier car on ne peut le diviser sans reste que par 1 et par 7. En revanche, 8 n’est pas premier car il est aussi divisible par 2 et par 4. Attention, 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Les nombres premiers les plus connus sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Pour tester un nombre, on cherche s’il a un diviseur autre que 1 et lui-même. On essaie les nombres premiers plus petits : 2, 3, 5, 7, etc. Si aucun ne divise le nombre, alors il est premier. Par exemple, 29 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 ; comme 7 × 7 = 49 > 29, il est premier. On peut aussi utiliser les critères de divisibilité pour aller plus vite.

Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers. On commence par le plus petit nombre premier qui divise le nombre, puis on recommence avec le quotient. Par exemple, pour 18 : 18 ÷ 2 = 9, puis 9 ÷ 3 = 3, et 3 est premier. On écrit donc 18 = 2 × 3 × 3, ce qui se note aussi 2 × 3². Cette décomposition est unique : il n’y a qu’une seule façon d’écrire un nombre comme produit de facteurs premiers, à l’ordre près.

Prenons 60. On le divise par 2 : 60 ÷ 2 = 30. Puis 30 ÷ 2 = 15 ; 15 n’est plus divisible par 2, mais il est divisible par 3 : 15 ÷ 3 = 5. Enfin, 5 est premier, on s’arrête. On écrit donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.