Les droites remarquables du triangle : médianes, hauteurs, bissectrices et médiatrices

Dans un triangle, certaines droites jouent un rôle particulier : on les appelle droites remarquables. Il y en a quatre à connaître en 5e : les médianes, les hauteurs, les bissectrices et les médiatrices. Chacune part d'un sommet ou d'un côté et possède une définition précise. Elles ne sont pas à confondre : une médiane coupe un côté en son milieu, une hauteur forme un angle droit, etc. Savoir les reconnaître permet de construire des figures justes et de résoudre des problèmes de géométrie.

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Par exemple, dans un triangle ABC, la médiane issue de A passe par A et par le milieu de [BC]. Un triangle possède donc trois médianes, une pour chaque sommet. Les trois médianes se coupent en un même point appelé le centre de gravité du triangle. On peut l'imaginer comme le point d'équilibre d'un triangle découpé dans du carton.

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé, ou à son prolongement. Elle forme donc un angle droit avec ce côté. Une bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Dans un triangle, la bissectrice d'un angle part du sommet et coupe le côté opposé. Les trois hauteurs se coupent en un point appelé l'orthocentre, et les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit.

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu et qui est perpendiculaire à ce segment. Elle a une propriété très utile : tout point de la médiatrice est à la même distance des deux extrémités du segment. Dans un triangle, on peut tracer les médiatrices des trois côtés ; elles se coupent en un point appelé le centre du cercle circonscrit. On retrouve cette idée quand on cherche un point à égale distance de deux maisons ou de deux villes. La médiatrice est donc l'axe de symétrie du segment.