Barycentres et centres de gravité

Imagine une planche posée sur un pivot : si tu places un poids de 2 kg à gauche et de 1 kg à droite, l'équilibre s'obtient plus près du poids le plus lourd. Le barycentre est exactement ce point d'équilibre. Pour deux points A et B affectés de coefficients a et b (avec a + b ≠ 0), le barycentre G existe et est unique : il vérifie l'égalité vectorielle a·GA + b·GB = 0. On le note souvent G = Bar{(A,a) ; (B,b)}. Si a = b, les deux poids s'équilibrent exactement au milieu du segment [AB].

Avec trois points A, B et C affectés des coefficients a, b, c (avec a + b + c ≠ 0), le barycentre G existe encore et est unique : il vérifie a·GA + b·GB + c·GC = 0. La propriété d'associativité est très utile : on peut remplacer deux points par leur barycentre partiel, à condition de lui attribuer la somme des deux coefficients. On ramène ainsi un système de trois points à un système de deux points, beaucoup plus simple à traiter. Cette méthode sert aussi à démontrer des alignements de points.

Dans un repère, les coordonnées du barycentre se calculent très simplement à partir de celles des points. On effectue une moyenne pondérée : on multiplie chaque coordonnée par son coefficient, on additionne le tout, puis on divise par la somme des coefficients. C'est exactement le même principe que le calcul d'une moyenne pondérée en statistiques, où les effectifs jouent le rôle des coefficients. Pense à vérifier que la somme des coefficients au dénominateur n'est pas nulle.

L'isobarycentre est le barycentre obtenu lorsque tous les coefficients sont égaux. Pour un triangle ABC, l'isobarycentre des trois sommets est le centre de gravité du triangle : c'est le point de concours des trois médianes. Il se situe aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet, et à un tiers à partir du milieu du côté opposé. En physique, c'est le point d'équilibre d'une plaque triangulaire homogène ; en architecture, il aide à vérifier la stabilité d'une structure.