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Barycentres et centres de gravité

Fiche de révision · Mathématiques · 1ère

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Le barycentre : le point d'équilibre

    G est barycentre de (A,a) et (B,b) si et seulement si a·GA + b·GB = 0.

  2. Chapitre 2 : Barycentre de trois points et associativité

    Associativité : on peut regrouper des points dans un barycentre partiel affecté de la somme des coefficients.

  3. Chapitre 3 : Coordonnées du barycentre

    Les coordonnées du barycentre sont des moyennes pondérées des coordonnées des points.

  4. Chapitre 4 : Isobarycentre et centre de gravité d'un triangle

    Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre de ses sommets, situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Soient A et B deux points et a, b deux réels tels que a + b ≠ 0. Le barycentre G de (A,a) et (B,b) est l'unique point vérifiant :

    1. A.GA + GB = 0
    2. B.a·GA = b·GB
    3. C.a·GB = b·GA
    4. D.a·GA + b·GB = 0
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    Réponse D : a·GA + b·GB = 0

    C'est la définition vectorielle du barycentre de deux points pondérés : a·GA + b·GB = 0 (vecteurs).

  2. 2.Le barycentre de (A,1) et (B,1) est :

    1. A.le point situé au tiers de [AB]
    2. B.le point A
    3. C.le point B
    4. D.le milieu du segment [AB]
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    Réponse D : le milieu du segment [AB]

    Quand les coefficients sont égaux, le barycentre est au milieu : GA + GB = 0 signifie que G est le milieu de [AB].

  3. 3.G est le barycentre de (A,2) et (B,4). Alors :

    1. A.G est le milieu de [AB]
    2. B.G est plus proche de B
    3. C.G est confondu avec B
    4. D.G est plus proche de A
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    Réponse B : G est plus proche de B

    AG = (4/6)·AB = (2/3)·AB : G est situé aux deux tiers du segment à partir de A, donc plus proche de B, le point le plus « lourd ».

  4. 4.A(0;0), B(6;0) et G barycentre de (A,1) et (B,2). Quelle est l'abscisse de G ?

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    Réponse : x_G = 4

    x_G = (1×0 + 2×6)/(1+2) = 12/3 = 4. C'est bien une moyenne pondérée des abscisses.

  5. 5.Le centre de gravité d'un triangle ABC est :

    1. A.le point de concours des médiatrices
    2. B.le point de concours des hauteurs
    3. C.le point de concours des médianes
    4. D.le point de concours des bissectrices
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    Réponse C : le point de concours des médianes

    Le centre de gravité est l'isobarycentre des sommets : il se trouve à l'intersection des trois médianes.

  6. 6.Pour que le barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b) existe, il faut que :

    1. A.a × b ≠ 0
    2. B.a + b = 0
    3. C.a + b ≠ 0
    4. D.a = b
    Voir la réponse

    Réponse C : a + b ≠ 0

    La somme des coefficients doit être non nulle, sinon la relation vectorielle n'admet pas de solution unique.

  7. 7.Pour calculer le barycentre de (A,1), (B,1) et (C,3), on peut :

    1. A.remplacer (A,1) et (B,1) par I, milieu de [AB], affecté de 2, puis barycentrer (I,2) et (C,3)
    2. B.dire qu'il n'existe pas
    3. C.additionner les trois points sans tenir compte des coefficients
    4. D.prendre le milieu de [AC]
    Voir la réponse

    Réponse A : remplacer (A,1) et (B,1) par I, milieu de [AB], affecté de 2, puis barycentrer (I,2) et (C,3)

    C'est la propriété d'associativité : un barycentre partiel remplace les points regroupés et reçoit la somme de leurs coefficients.

  8. 8.A(1;1), B(3;5) et C(5;0). Quelles sont les coordonnées de l'isobarycentre G de ABC ?

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    Réponse : G(3;2)

    x_G = (1+3+5)/3 = 3 et y_G = (1+5+0)/3 = 2, donc G(3;2).