Les inéquations du premier degré

Une inéquation ressemble à une équation, mais au lieu du signe =, elle contient <, >, ≤ ou ≥. Elle exprime une condition, par exemple : le budget pour une sortie doit rester inférieur à 30 €. Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. Il y a souvent une infinité de solutions, que l'on peut représenter sur une droite graduée. Par exemple, x<5 signifie que tous les nombres strictement plus petits que 5 conviennent.

Pour résoudre une inéquation du premier degré, on cherche à isoler x d'un côté, comme pour une équation. On peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité. On peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre strictement positif : le sens ne change pas. Exemple : 3x+5<20 devient 3x<15, puis x<5. Avant de conclure, on peut tester une valeur simple pour vérifier si le résultat est cohérent.

Il y a une différence importante avec les équations : si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. Par exemple, -2x>6 devient x<-3 : on divise par -2 et on retourne le symbole. Cette règle est logique : si deux nombres sont rangés dans un ordre, les multiplier par -1 inverse leur ordre. Il faut donc être très attentif au signe du nombre par lequel on divise. On vérifie ensuite la solution avec une valeur test.

Une solution d'inéquation peut s'écrire sous forme d'inégalité, par exemple x≥4. Sur une droite graduée, on place la valeur limite 4 : le crochet est fermé si l'inégalité est large (≤ ou ≥), ouvert si elle est stricte (< ou >). Pour x≥4, on colorie tous les nombres à droite de 4, y compris 4. On peut appliquer cela à une situation concrète : avec 20 € et un tarif de 3 € par place, combien de places peut-on acheter ? On résout 3x≤20, donc x≤6,66…, et comme x est entier, x≤6.