La fonction valeur absolue et les distances

Pour un réel x, la valeur absolue |x| est la distance entre x et 0 sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle : elle ne peut pas être négative. Si x est positif ou nul, |x| = x ; si x est négatif, |x| = -x. Par exemple, |7| = 7 et |-5| = 5, car -5 est à 5 unités de 0. On retient que la valeur absolue enlève le signe mais garde l’idée d’éloignement.

Pour calculer |x|, on regarde le signe de x : si x≥0 alors |x|=x, sinon |x|=-x. Ainsi |12| = 12, |-3,5| = 3,5 et |0| = 0. Deux nombres opposés ont la même valeur absolue, par exemple |8| = |-8| = 8. Attention, |a+b| n’est pas toujours égal à |a|+|b| : avec a=-2 et b=5, |a+b|=3 alors que |a|+|b|=7.

Sur une droite graduée, la distance entre deux réels a et b est le nombre |b-a|. L’ordre n’a pas d’importance car |b-a|=|a-b|. Par exemple, la distance entre -2 et 6 est |6-(-2)|=8. C’est aussi le nombre de pas nécessaires pour aller de l’un à l’autre sur la droite graduée. Cette formule sert à traduire des écarts, des tolérances ou des positions.

L’équation |x| = 4 signifie que x est à une distance 4 de 0 : les solutions sont x=-4 et x=4. Plus généralement, |x-a|=r avec r>0 signifie que x est à une distance r de a. On obtient deux solutions : x=a-r et x=a+r. Une inéquation comme |x-a|≤r décrit tous les nombres situés à une distance de a inférieure ou égale à r, donc un intervalle centré en a.