Fonction inverse et fonctions homographiques

La fonction inverse est la fonction f définie par f(x)=1/x pour tout réel x non nul. On ne peut pas calculer 1/0 : le domaine est donc ℝ privé de 0, noté ℝ*. Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine du repère. Elle s'approche des axes sans jamais les toucher : ce sont des asymptotes. Elle est décroissante sur chacun des intervalles ]-∞;0[ et ]0;+∞[.

Pour x très proche de 0 par la droite, 1/x devient très grand positif ; par la gauche, il devient très grand négatif. On dit que la droite x=0 est une asymptote verticale. Pour x très grand ou très négatif, 1/x se rapproche de 0 : la droite y=0 est une asymptote horizontale. Attention, la fonction inverse n'est pas décroissante sur ℝ* tout entier, seulement sur chaque intervalle séparément.

Une fonction homographique s'écrit f(x)=(ax+b)/(cx+d) avec c≠0. Elle est définie pour tous les réels sauf la valeur qui annule le dénominateur : x=-d/c. On peut souvent la transformer en f(x)=α+β/(x-x0), ce qui montre qu'elle se déduit de la fonction inverse par translations. Sa courbe est encore une hyperbole, avec une asymptote verticale x=x0 et une asymptote horizontale y=α. Les variations dépendent du signe de β.

Pour étudier une fonction homographique, on commence par déterminer son domaine. On identifie ensuite les asymptotes : la verticale en annulant le dénominateur, puis l'horizontale avec la forme transformée ou une limite. On peut dresser le tableau de variations selon le signe du coefficient β. Enfin, on trace l'hyperbole en plaçant quelques points et en dessinant les asymptotes.