Fonction inverse et fonctions homographiques

Fiche de révision · Mathématiques · 2nde

L'essentiel du cours

Chapitre 1 : La fonction inverse
f(x)=1/x est définie sur ℝ* et sa courbe est une hyperbole.
Chapitre 2 : Variations et asymptotes
1/x décroît sur chaque intervalle de son domaine, avec deux asymptotes.
Chapitre 3 : Les fonctions homographiques
Une fonction homographique est un quotient affine, défini sur ℝ privé de -d/c.
Chapitre 4 : Méthode d'étude et exemples concrets
Domaine, asymptotes, variations puis courbe : la méthode complète.

1.Quel est le domaine de définition de f(x)=1/x ?
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Réponse : ℝ*
On ne peut pas diviser par 0, donc x doit être non nul : le domaine est ℝ*.
2.Quelle est l'image de -2 par la fonction inverse ?
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Réponse : -1/2
f(-2)=1/(-2)=-1/2.
3.Sur ]0;+∞[, comment varie la fonction inverse ?
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Réponse : Décroissante
Sur ]0;+∞[, quand x augmente, 1/x diminue : elle est décroissante.
4.Quelle est l'asymptote verticale de f(x)=1/(x-3) ?
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Réponse : x=3
Le dénominateur s'annule pour x=3, donc la droite x=3 est une asymptote verticale.
5.Quel est le domaine de f(x)=(x+1)/(x-2) ?
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Réponse : ℝ privé de 2
Le dénominateur x-2 s'annule pour x=2, donc 2 est exclu.
6.Dans l'écriture f(x)=(ax+b)/(cx+d), quelle condition est nécessaire ?
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Réponse : c≠0
Si c=0, le quotient n'est plus homographique au sens usuel : on obtient une fonction affine.
7.Que vaut la limite de 1/x quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
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Réponse : +∞
Quand x devient très petit positif, 1/x devient très grand positif : la limite est +∞.
8.Quelle est l'asymptote horizontale de f(x)=(2x+1)/(x-3) ?
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Réponse : y=2
On écrit f(x)=2+7/(x-3), donc quand x devient grand, f(x) se rapproche de 2 : l'asymptote horizontale est y=2.