Variables aléatoires et lois usuelles

Une variable aléatoire X transforme le résultat d’une expérience aléatoire en un nombre réel, par exemple le nombre de symptômes ou le temps d’attente aux urgences. Elle est discrète si elle prend des valeurs isolées, comme 0, 1, 2, 3 infections, et continue si elle peut prendre toute valeur d’un intervalle, comme une tension artérielle. En santé, il est essentiel de préciser le type de variable avant de choisir une loi de probabilité. On note souvent les valeurs possibles x_i et leurs probabilités P(X=x_i).

La loi de probabilité d’une variable discrète donne toutes les valeurs possibles x_i et leurs probabilités P(X=x_i). Ces probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance E(X) représente la moyenne théorique sur un grand nombre de répétitions. La variance V(X) et l’écart-type mesurent la dispersion autour de cette moyenne. On calcule E(X)=Σ x_i P(X=x_i) et souvent V(X)=E(X²)−[E(X)]².

Les lois discrètes usuelles modélisent des comptages ou des succès. La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve à deux issues, avec P(X=1)=p. La loi binomiale B(n,p) compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même probabilité p. La loi de Poisson modélise souvent des événements rares sur une durée ou un espace donné, avec E(X)=V(X)=λ. La loi uniforme discrète attribue la même probabilité à chaque valeur d’un ensemble fini.

Les lois continues décrivent des variables pouvant prendre toute valeur dans un intervalle, comme une durée ou une concentration. La loi uniforme continue U(a,b) donne une densité constante sur [a,b]. La loi normale N(μ,σ²) est fondamentale en biostatistique : elle est symétrique, en cloche et centrée sur μ. Pour calculer des probabilités avec une table, on standardise X en Z=(X−μ)/σ, qui suit N(0,1). La table de N(0,1) donne ensuite les probabilités ou les quantiles nécessaires.