Probabilités et conditionnement

Une expérience aléatoire est un phénomène dont on connaît les issues possibles mais pas le résultat exact avant sa réalisation. L’univers Ω rassemble toutes ces issues, et un événement A est un sous-ensemble de Ω. En biostatistique, on utilise souvent des événements comme « le patient est malade » ou « le test est positif ». La probabilité P(A) mesure la chance que A se réalise, entre 0 et 1. On a P(Ω)=1 et P(∅)=0, ce qui permet de vérifier la cohérence d’un modèle.

Conditionner, c’est restreindre l’univers aux situations où l’événement B est déjà réalisé. La probabilité conditionnelle de A sachant B se note P(A|B) et se calcule par P(A|B)=P(A∩B)/P(B), à condition que P(B)>0. Cette formule est centrale pour les tests diagnostiques : on passe de « test positif » à « test positif sachant que le patient est malade ». Elle ne signifie pas que B cause A ; elle décrit seulement un changement d’information. Il faut toujours vérifier que le dénominateur n’est pas nul.

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Mathématiquement, A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)P(B), ce qui équivaut à P(A|B)=P(A) si P(B)>0. Attention : incompatibles (P(A∩B)=0) et indépendants sont deux notions différentes. Pour enchaîner plusieurs événements, un arbre pondéré aide à organiser les calculs. La probabilité d’un chemin s’obtient en multipliant les probabilités portées sur ses branches.

Quand un événement B peut survenir selon plusieurs causes A1, A2, …, la formule des probabilités totales décompose P(B) en somme de P(B|Ai)P(Ai) sur une partition. La formule de Bayes renverse le conditionnement : elle permet par exemple de calculer P(Maladie|Test positif) à partir de la sensibilité, de la spécificité et de la prévalence. En diagnostic, la sensibilité est P(Test+|Malade), la spécificité est P(Test−|Non malade), tandis que la VPP est P(Malade|Test+). Ces notions expliquent pourquoi un test très sensible peut avoir une VPP faible si la maladie est rare. Il faut donc toujours distinguer la probabilité conditionnelle dans le sens test→maladie et maladie→test.