Probabilités : expériences à deux épreuves et consolidation

Une expérience à deux épreuves se déroule en deux temps : par exemple, on lance une pièce, puis on lance un dé. Pour bien voir toutes les issues, on construit un arbre des possibles. Chaque branche du premier niveau correspond au résultat de la première épreuve, puis chaque branche suivante au résultat de la seconde. Cet arbre aide à repérer les chemins qui réalisent un événement. Une issue finale est obtenue en suivant un chemin complet de l'arbre.

Quand les deux épreuves sont indépendantes, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités portées sur ses branches. Par exemple, pour obtenir Pile puis 6, on fait 1/2 × 1/6 = 1/12. Ce résultat signifie que ce chemin représente une issue parmi douze issues équiprobables. On écrit parfois la probabilité sur la branche finale pour éviter les erreurs. Le produit s'applique à un chemin complet, pas à plusieurs chemins différents.

Un événement peut être réalisé par plusieurs chemins de l'arbre. Si ces chemins sont incompatibles, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, on additionne leurs probabilités. Par exemple, avec deux lancers de pièce, obtenir exactement une fois Pile correspond aux chemins Pile-Face et Face-Pile. On calcule 1/4 + 1/4 = 1/2. Il faut donc d'abord repérer tous les chemins favorables, puis les additionner.

Pour consolider, on compare souvent la probabilité théorique avec les fréquences observées lors d'une simulation. Plus on répète l'expérience, plus la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut simuler avec un tableur, un dé, une pièce ou un logiciel. Il ne faut pas confondre une fréquence, qui dépend de l'expérience réelle, avec une probabilité, qui est un modèle mathématique. Vérifier l'arbre et les calculs reste indispensable.