Géométrie analytique de l'espace : droites et plans

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O; i, j, k), tout point M est repéré par un triplet (x; y; z). Un vecteur u possède aussi trois coordonnées. Le produit scalaire permet de tester si deux vecteurs sont orthogonaux. La norme d'un vecteur se calcule à partir de ses coordonnées. Ces outils sont la base de toute la géométrie analytique de l'espace.

Une droite de l'espace est définie par un point A et un vecteur directeur u non nul. Tout point M de la droite vérifie AM = t u, où t est un réel. On obtient un système donnant x, y et z en fonction de t. Le paramètre t décrit tous les réels. Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Un plan de l'espace peut être défini par un point A et un vecteur normal n non nul. Un vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs du plan. Le plan passant par A et de vecteur normal n(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme a x + b y + c z + d = 0. On détermine d en remplaçant x, y et z par les coordonnées de A. Réciproquement, toute équation de ce type avec (a;b;c) non nul décrit un plan.

Pour étudier deux droites, on compare leurs vecteurs directeurs puis on résout le système formé par leurs représentations paramétriques. Une droite et un plan peuvent être sécants, parallèles ou inclus dans le plan. Pour vérifier qu'une droite est orthogonale à un plan, on montre que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. La distance d'un point à un plan se calcule à l'aide du projeté orthogonal du point sur le plan.