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Géométrie analytique de l'espace : droites et plans

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Coordonnées et produit scalaire dans l'espace

    Le produit scalaire est l'outil clé pour étudier orthogonalité, normes et angles.

  2. Chapitre 2 : Représentation paramétrique d'une droite

    Un point et un vecteur directeur suffisent pour décrire entièrement une droite.

  3. Chapitre 3 : Équation cartésienne d'un plan

    Le vecteur normal donne l'orientation du plan et permet d'écrire son équation.

  4. Chapitre 4 : Intersections, orthogonalité et distance

    Positions relatives et orthogonalité se décident avec vecteurs directeurs et vecteurs normaux.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Dans un repère orthonormé, on donne A(1;2;3) et B(4;0;1). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

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    Réponse : (3;-2;-2)

    AB = B - A = (4-1; 0-2; 1-3) = (3;-2;-2).

  2. 2.Que vaut le produit scalaire de u(1;-2;3) et v(2;1;-1) ?

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    Réponse : -3

    u·v = 1×2 + (-2)×1 + 3×(-1) = 2 - 2 - 3 = -3.

  3. 3.Quelle est une représentation paramétrique de la droite passant par A(1;1;1) et de vecteur directeur u(2;0;-1) ?

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    Réponse : x=1+2t, y=1, z=1-t

    On ajoute t fois les coordonnées de u aux coordonnées de A.

  4. 4.Le plan d'équation 2x - y + 3z - 4 = 0 admet pour vecteur normal :

    1. A.(-1;3;-4)
    2. B.(2;-1;3)
    3. C.(2;-1;-4)
    4. D.(2;1;3)
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    Réponse B : (2;-1;3)

    Les coefficients de x, y, z donnent les coordonnées d'un vecteur normal.

  5. 5.Si u·v = 0 avec u et v non nuls, alors u et v sont :

    1. A.orthogonaux
    2. B.colinéaires
    3. C.coplanaires
    4. D.égaux
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    Réponse A : orthogonaux

    Par définition, le produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.

  6. 6.Deux droites de vecteurs directeurs u(1;2;3) et v(2;4;6) sont :

    1. A.sécantes
    2. B.non coplanaires
    3. C.parallèles
    4. D.orthogonales
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    Réponse C : parallèles

    v = 2u, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires : les droites sont parallèles.

  7. 7.Le plan passant par A(1;0;2) et de vecteur normal n(1;1;1) a pour équation :

    1. A.2x+y+z-3=0
    2. B.x+y+z+3=0
    3. C.x+y+z-3=0
    4. D.x+y+z=0
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    Réponse C : x+y+z-3=0

    1×1 + 1×0 + 1×2 + d = 0 donne d = -3, donc x+y+z-3=0.

  8. 8.Quelle est la distance du point A(0;0;0) au plan x+2y+2z-3=0 ?

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    Réponse : 1

    d = |0+0+0-3| / racine carrée(1²+2²+2²) = 3/3 = 1.