Équations produits et équations quotients

Une équation produit est une équation de la forme (expression A)×(expression B)=0. Dans la vie courante, dire qu'un produit est nul revient à dire qu'au moins un de ses facteurs est nul : si une aire longueur×largeur vaut 0, c'est que la longueur ou la largeur vaut 0. La règle du produit nul permet de transformer une équation compliquée en deux petites équations du premier degré. On résout chacune séparément, puis on rassemble les solutions. Attention, cette règle ne fonctionne que si le produit est égal à 0.

Certaines équations ne sont pas écrites directement sous forme de produit. On les transforme en équation produit en factorisant, par exemple avec un facteur commun ou une identité remarquable. Pour x²-25=0, on reconnaît une différence de deux carrés et on obtient (x-5)(x+5)=0. On applique ensuite la règle du produit nul pour résoudre. Il faut toujours vérifier que la factorisation est correcte avant de conclure.

Une équation quotient contient une fraction. Un quotient n'existe que si son dénominateur est différent de zéro : c'est une condition à écrire avant de résoudre. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul, mais il faut aussi que son dénominateur ne soit pas nul. Par exemple, \frac{x-4}{x+2}=0 donne x-4=0 et x+2\neq 0, donc x=4. On vérifie toujours que la solution trouvée n'annule pas le dénominateur.

Pour résoudre une équation produit ou quotient, commence par repérer la forme de l'équation. Si c'est un produit égal à 0, écris que chaque facteur peut être nul et résous les équations obtenues. Si c'est un quotient égal à 0, écris la condition sur le dénominateur, résous numérateur = 0, puis élimine les valeurs interdites. Termine en vérifiant rapidement que les solutions sont autorisées et en présentant l'ensemble des solutions.