Échantillonnage et théorème central limite

En biostatistique, on étudie souvent une population trop grande pour être observée entièrement. Un échantillon est un sous-ensemble de cette population, sélectionné pour estimer des paramètres comme une moyenne ou une proportion. Un bon échantillon doit être représentatif et tiré selon une méthode probabiliste. L’objectif n’est pas d’avoir un échantillon parfait, mais de réduire et de contrôler les biais.

L’échantillonnage aléatoire simple donne à chaque individu une probabilité connue et non nulle d’être tiré. On peut aussi stratifier la population en groupes homogènes puis tirer dans chaque strate, ou utiliser des grappes lorsque les individus sont regroupés. À l’inverse, un échantillon de convenance recrute les personnes disponibles, ce qui favorise les biais de sélection. La taille de l’échantillon ne corrige pas à elle seule un recrutement biaisé.

Si l’on répète le tirage de plusieurs échantillons de même taille n, chaque échantillon possède sa propre moyenne. La distribution de toutes ces moyennes s’appelle distribution d’échantillonnage de la moyenne. Sa moyenne est égale à la moyenne de la population, et son écart-type vaut σ/√n : c’est l’erreur standard. Plus n augmente, plus la moyenne d’échantillon est précise, c’est-à-dire moins variable autour de la vraie moyenne.

Le théorème central limite indique que, pour des échantillons indépendants de taille n suffisamment grande, la moyenne d’échantillon suit approximativement une loi normale. Ce résultat est remarquable car il ne dépend pas fortement de la forme de la population initiale. En pratique, on l’utilise pour construire des intervalles de confiance et réaliser des tests statistiques. Plus la population est asymétrique, plus n doit être grand pour que l’approximation soit correcte.