Problèmes de modélisation avec fonctions et statistiques

Modéliser, c'est traduire une situation du quotidien par des mathématiques. On commence par repérer ce qui varie et ce qui dépend de quoi : par exemple, le prix payé dépend du nombre de kilomètres parcourus. On choisit une lettre pour la grandeur variable, souvent x, puis on écrit une fonction qui donne le résultat. Enfin, on vérifie que la formule trouvée a du sens pour quelques valeurs simples.

Beaucoup de situations se modélisent par une fonction affine : un abonnement fixe b auquel s'ajoute un prix proportionnel a par unité. Le nombre a est le coefficient directeur : il indique de combien le résultat augmente quand x augmente de 1. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de départ, quand x=0. Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée ; pour chercher un antécédent, on résout une équation.

Les statistiques servent à résumer une série de données pour la comparer ou prendre une décision. La moyenne s'obtient en ajoutant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total. La médiane partage la série en deux groupes de même effectif après avoir rangé les valeurs dans l'ordre. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur ; elle mesure la dispersion.

Pour résoudre un problème complet, on lit les données, on choisit un modèle mathématique, on calcule puis on revient à la situation concrète. Par exemple, pour comparer deux tarifs, on peut exprimer chaque prix par une fonction, calculer les prix pour plusieurs valeurs et comparer les résultats. Les statistiques peuvent ensuite aider à résumer les habitudes d'un client, comme le nombre moyen de trajets par mois. La réponse doit toujours être rédigée avec une phrase qui explique le résultat dans le contexte.